Линейная алгебра (стр. 1 )

Линейная алгебра.

Линейная алгебра.

Матрицы и действия над ними.

Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

Числа называются элементами матрицы, индекс i указывает номер строки, индекс j - номер столбца, на пересечении которых находится элемент.

Если матрица имеет вид строк и столбцов, то - называется размером матрицы. Если , матрица называется квадратной. Две матрицы одного размера называются равными, если равны их соответственные элементы. Если все элементы матрицы равны нулю, то она называется нулевой, единичной, если элементы, расположенные на главной диагонали равны единице, а остальные нулю.

Над матрицами проводят следующие операции:

1)  Сложение. Пусть , - матрицы одного размера, тогда

Пример:

2)  Умножение матриц на число. Пусть , тогда

Пример:

3)  Умножение матриц. Операция определяется для матриц вида т. е. число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы. Произведением матриц и называется матрица элементы которой

Пример:

Обратная матрица

Определение: Определителем квадратной матрицы называется число, определяемое по правилу

1)  Пусть тогда её определитель

2)  Пусть

Аналогично можно определить определители квадратных матриц любого порядка.

Определение: Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если определитель матрицы отличен от нуля, матрица называется невырожденной. Любая невырожденная матрица имеет обратную.

Определение: Обратной матрицей называют матрицу того же размера, удовлетворяющей условию , где - единичная матрица

где алгебраическое дополнения соответственных элементов матрицы

Пример. Найти обратную матрицу

Векторная алгебра.

Координаты вектора - проекции этого вектора на оси координат.

Пусть и - точки. Тогда вектор

Пример:

Сумма векторов.

Если ., то

Пример:

Умножение на число.

Пример:

Длина вектора.

Скалярное произведение.

α

Обозначение

Определение

Формула вычисления

Пример:

Геометрическое приложение.

(см. рисунок)

Пример