Збірник завдань для проведення практичних занять з предмету«Теорія ймовірностей і математична статистика» (стр. 7 )

17.Імовірність появи події в кожному із 300 незалежних випробувань дорівнює 0,9. Знайти таке додатне число є, щоб з імовірністю 0,96 абсолютна величина відхилення відносної частот появи імовірності 0,9 не перевищила E.

18. Технологічний процес підприємства дозволяє одержати 90% виробів вищого ґатунку. Знайти найімовірніше число виробів вищого ґатунку серед 300 виготовлених підприємством виробів, а також імовірність появи нього числа виробів.

19. Детектор неправди фіксує невірну відповідь з імовірністю 95%'. Яка імовірність того, що на 10 поставлених питань неправильна відповідь буде зафіксована хоча б два рази?

20. Серед автомобілів, що ввозяться в Україну, 85% складають легківки. Протягом дня на митницю прибуло 10 автомобілів. Яка імовірність того, що не більше 9 з них легківки?

21. На презентації нової моделі телевізора розігрується лотерея з 2400 білетів,3 з яких виграшні (телевізор нової моделі). Знайти імовірність того, що власник 200 білетів виграє хоча б один.

22. Для розвинутих країн Заходу частка тіньового бізнесу складає 1%. Яка імовірність того, що серед 200 зареєстрованих на рік фірми таким бізнесом займається хоча б дві?

23. У гуртожитку мешкає 60% студентів стаціонару. Яка імовірність того, що з 10 випадково вибраних студентів не більше 8 проживає в гуртожитку?

24. Кожний десятий пасажир громадського транспорту має документ про пільговий проїзд. Контролер перевіряє проїзні документи у п’яти навмання вибраних пасажирів. Яка імовірність того, що хоча б один із перевірених пасажирів має документ про пільговий проїзд?

25. Відомо, що три чверті населення міста користується послугами кабельного телебачення. Яка імовірність того, що серед 300 мешканців такими послугами користуються хоча б 220?

g Практична робота № 6.

Обчислення ймовірностей випадкових величин з використанням

теорем Муавра - Лапласа, формули Пуассона.

1. Кредит споживачів. Банк видає кредитні картки VISA. Було встановлено, що 40 % усіх рахунків оплачуються повністю за їх допомогою. З попереднього року вибрали навмання 6 рахунків. Яка ймовірність, що 4 з них оплачені за допомогою карток VISA? не більше чотирьох?

2. Ймовірність появи деякої події в одному випробуванні 0,8. Яка ймовірність того, що при 8-ми випробуваннях подія відбудеться:

а) 5 разів; б) 0 разів; в) 8 разів; г) не менше 4 разів; ґ) більше 2 разів;

д) не менше 2-х, але менше 5-ти разів;е) принаймні один раз.

3. На складі є товари двох видів, причому товарів другого виду в 2 рази більше, ніж першого. Знайти ймовірність того, що:

а) серед восьми навмання взятих товарів три виявляться першого виду;

б) серед п’яти взятих навмання товарів принаймні один виявиться другого виду.

4. Знайти ймовірність того, що при підкиданні грального кубика 7 разів число 6 випаде хоча б при одному підкиданні.

5. Ймовірність влучення стрільця в десятку 0,6. Чому дорівнює ймовірність того, що при 10 пострілах влучень у десятку буде:

а) 4 рази;б) 0 разів;в) 10 разів;г) не менше 5 разів;ґ) не більше 8 разів;

д) від 6 до 8 разів; е) принаймні один раз?

6. Ймовірність появи події A в кожному з 10 незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти найімовірніше число появи події A у 10 незалежних повторних випробуваннях.

7. Ймовірність появи події A в кожному з n незалежних випробувань дорівнює 0,8. Скільки таких випробувань потрібно виконати, щоб найімовірніше число появи події A в цих випробуваннях дорівнювало 30?

8. Ймовірність виграшу при придбанні одного квитка з 1 000 дорівнює 0,4. Скільки потрібно придбати таких квитків, щоб принаймні один з них був виграшним?

9. Ймовірність виготовлення бракованої деталі 0,2. Знайти ймовірність того, що серед 100 деталей бракованих буде:

а) 0; б) 10; в) не менше 10; г) 20; ґ) від 18 до 30; д) 80; е) від 80 до 100.

10. Ймовірність пошкодження виробу при транспортуванні дорівнює 0,001. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні 2 000 виробів буде пошкоджено:

а) 0; б) 5; в) не менше 6; г) не більше 7; ґ) від 3 до 5.

11. Ймовірність появи події в кожному із 500 незалежних випробувань дорівнює 0,4. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхиляється від теоретичної ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,05.

12. Ймовірність появи успіху в кожному з 400 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти таке додатне число щоб з ймовірністю 0,9876 абсолютна величина відхилення відносної частоти появи успіху від його ймовірності 0,8 не перевищувала 

13. Скільки потрібно зробити дослідів з киданням монети, щоб з ймовірністю 0,92 можна було очікувати відхилення відносної частоти випадання “герба” від теоретичної ймовірності p за абсолютною величиною менше ніж 0,001?

14. Скільки потрібно зробити дослідів з киданням грального кубика, щоб з ймовірністю 0,98 можна було очікувати відхилення відносної частоти випадання шістки від теоретичної ймовірності з абсолютною величиною менш ніж 0,02?

15. Два рівносильні гравці грають у шахи (нічиї до уваги не беруться). Що ймовірніше: а) виграти дві партії з чотирьох чи три партії із шести;

б) виграти одну партію з двох чи дві партії з чотирьох; в) виграти не менше ніж дві партії з чотирьох чи не менше ніж три партії з п’яти?

16. Імовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти найменшу кількість випробувань n, за якої з імовірністю 0,99 можна очікувати, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютним значенням не більше ніж на 0,04.

17. При виготовленні деталей у цеху брак становить у середньому 8 %. Скільки деталей має перевірити контролер, щоб ймовірність того, що абсолютна величина відхилення відносної частоти появи стандартної деталі від ймовірності р виготовлення такої деталі не перевищувала e = 0,002, дорівнювала 0,988.

18. Знайти середню кількість помилок на сторінці рукопису, якщо ймовірність того, що сторінка рукопису містить хоча б одну помилку, дорівнює 0,98.

19. Середня кількість викликів таксі, які надходять в диспетчерський пункт протягом хвилини, дорівнює три. Знайти ймовірність, що за дві хвилини надійде:

а) чотири виклики; б) менше чотирьох викликів; в) не менше чотирьох викликів.

20. Для баскетболіста ймовірність влучити в корзину при одному кидку дорівнює 0,4. Зроблено 10 кидків. Знайти найімовірніше число влучень і відповідну ймовірність.

21. Ймовірність браку виробництва становить 15 %. Яке буде найімовірніше значення браку для 500 виготовлених деталей? Яка ймовірність того, що бракованих деталей буде від 150 до 300? рівно 220?

22. Менеджер встановив, що ймовірність бути нереалізованою для кожної одиниці продукції, що швидко псується, дорівнює 0,1. Скільки потрібно реалізувати одиниць продукції, щоб з ймовірністю 0,9544 можна було стверджувати, що відносна частота одиниці нереалізованої продукції відхиляється від постійної ймовірності р за абсолютною величиною не більше ніж на

23. Є дві партії виробів з 12 і 10 штук, причому в кожній партії один виріб бракований. Виріб, узятий навмання з першої партії, перекладено в другу, після чого вибирається навмання виріб із другої партії. Визначити ймовірність дістати бракований виріб з другої партії.

24. У кошик, що містить 3 кулі, опущена чорна куля. Яка ймовірність того, що з кошика буде витягнута чорна куля, якщо всі припущення про початковий склад куль за кольором рівноможливі?

25. З партії, що складається з 4 виробів, навмання взяли один виріб, який виявився не бракованим. Кількість бракованих виробів рівноможлива будь-яка. Яка гіпотеза про кількість бракованих виробів найбільш вірогідна?

1.а. Перший і другий заводи поставляють порівну однакових деталей, але перший виробляє 90 % стандартних деталей, а другий – 85 %. Навмання взята деталь стандартна. Яка ймовірність, що вона виготовлена першим заводом?

2а. З урни, яка містить 3 білі та чорні кульки, перекладено дві кульки до урни, яка містить 4 білі та 4 чорні кульки. Яка ймовірність того, що з другої урни після такого перекладення буде взято білу кульку?

3а. У двох корзинах баскетбольні та волейбольні м’ячі, причому у першій – 8 баскетбольних і 2 волейбольні, у другій – 6 баскетбольних і 3 волейбольні. З навмання вибраної корзини взяли м’яч. Яка ймовірність того, що:

а) взяли волейбольний м’яч;

б) м’яч, який виявився баскетбольним, взяли з першої корзини?

4а. Два стрільці незалежно один від одного роблять по одному пострілу по мішені. Ймовірність влучення першого – 0,8, другого – 0,4. Відомо, що є одне влучення. Знайти ймовірність того, що в мішень влучив перший стрілець.

5а. Серед n екзаменаційних білетів m “щасливих”. Студенти підходять за білетами один за одним. У кого більша ймовірність взяти “щасливий” білет: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим?

6а У першому ящику десять стандартних і дві браковані деталі, у другому відповідно – 12 і 3, у третьому – 14 і 1. З навмання вибраного ящика взяли деталь. Яка ймовірність того, що:а) взяли стандартну деталь;

б) деталь, яка виявилось бракованою, взяли з 3-го ящика?

7а. Є дві партії виробів: перша партія складається з 12 виробів, серед яких 2 браковані; друга – з 16 виробів, серед яких 3 браковані. З першої партії навмання береться 5 виробів, а з другої – 4 вироби. Ці 9 виробів перемішують. З нової партії береться навмання один виріб. Знайти ймовірність того, що:

а) виріб є дефектним; б) виріб, який виявися якісним, був з першої партії.

8а. До крамниці надходить товарна продукція лише трьох заводів. Обсяги продукції першого, другого та третього заводів відповідно відносяться 2:5:3. Частка браку на першому заводі 2 %, на другому – 5 %, на третьому – 4 %. Яка ймовірність того, що: а) куплений у крамниці товар виявився бракованим;

б) куплений товар, який виявився якісним, виготовили на другому заводі?