Комбінації геометричних тіл (стр. 3 )

5. Розв’язування задач.

1.  У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює α. Знайдіть площу повної поверхні вписаного конуса, якщо площа основи піраміди дорівнює Q. (Відповідь: ·(сtg+1).)

 

2.  У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює α . Знайдіть площу бічної поверхні конуса, описаного навколо піраміди, якщо її висота дорівнює Н. (Відповідь: .)

 

3.  У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює α . Знайдіть повну поверхню вписаного конуса, якщо площа основи піраміди дорівнює S. (Відповідь: .)

 

4.  У правильній піраміді бічне ребро дорівнює b і утворює з площиною основи кут α . Знайдіть площу повної поверхні конуса, описаного навколо піраміди, і його об’єм. (Відповідь: 2πb2 соsα·· соs2, .)

5.  Твірна конуса дорівнює l і утворює з основою кут в 60º. У конус вписана правильна трикутна призма, бічне ребро якої у 2 рази більше сторони основи. Знайдіть ребра призми. (Відповідь: , .)

6.  У пряму призму, основою якої є рівнобічна трапеція з гострим кутом α, вписано конус. Знайдіть повну поверхню призми, якщо діаметр основи конуса дорівнює d, а кут нахилу твірної конуса до площини його основи дорівнює β. (Відповідь: .)

 

2. Підсумок уроку.

Запитання до класу:

a.  У конус радіуса R вписана правильна трикутна піраміда. Знайдіть довжину сторони основи.

b.  Яка піраміда називається описаною навколо конуса?

Домашнє завдання.

Задача № 25 - 27 (с. 97) §6; задачі № 4, 5 (с. 119) §8. Повторити п. 63 §6 підручника.

Тема 4. Комбінації многогранників і кулі.

Мета: ознайомлення з комбінаціями многогранників і куль; формування вмінь розв’язувати задачі на комбінації многогранників і куль.

Обладнання: моделі многогранників.

Тип уроку: Пояснення нового матеріалу.

Хід уроку.

a.  Організація класу.

b.  Перевірка домашнього завдання.

Перевірити правильність виконання домашнього завдання та відповісти на запитання, які виникли в учнів при його виконанні.

c.  Аналіз самостійної роботи, виконаної на попередньому уроці.

4. Самостійна робота.

Варіант 1.

Основа піраміди – трикутник, одна із сторін якого дорівнює с і протилежним кутом γ. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом α . Знайдіть бічну поверхню конуса, описаного навколо піраміди.

Варіант 2.

Основа піраміди – рівнобедрений трикутник з основою а і гострим кутом β при вершині. Усі бічні ребра піраміди утворюють з її висотою кут φ. Знайдіть об’єм конуса, описаного навколо цієї піраміди.

Варіант 3.

Основа піраміди – прямокутний трикутник, катет якого дорівнює b, а протилежний гострий кут – β. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом α. Знайдіть бічну поверхню конуса, описаного навколо даної піраміди.

Варіант 4.

Основа піраміди – прямокутник, одна із сторін якого дорівнює а і утворює з діагоналлю прямокутника кут α. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом β. Знайдіть бічну поверхню конуса, описаного навколо даної піраміди.

Варіант 1. Варіант 2.

 

Варіант 3. Варіант 4.

 

Відповідь:

Варіант 1. .

Варіант 2. .

Варіант 3. .

Варіант 4. .

5.  Пояснення нового матеріалу.

При розв’язуванні задач на комбінацію многогранників і куль важливо вміти визначати положення центра вписаної і описаної кулі.

Означення: Центром кулі, описаної навколо многогранника, є точка, рівновіддалена від усіх його вершин, а кулі, вписаної в многогранник, - точка, рівновіддалена від усіх його граней. Центром кулі, вписаної у правильний многогранник, є точка перетину його бісектральних площин.

Означення: Центром описаної навколо прямої призми кулі є середина її висоти, що проходить через центр кола, описаного навколо основи призми. Якщо навколо основи призмине можна описати коло, то навколо такої призми не можна описати кулю. Центром кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда, є точка перетину його діагоналей.

Діаметр кулі вписаної, у пряму призму, дорівнює діаметру кола, вписаного в основу, а також висоті призми. Тому центр вписаної в пряму призму кулі збігається із серединою висоти, проведеною через центр вписаного в основу кола. Якщо висота призми не дорівнює діаметру вписаного в основу кола або ж в основу призми не можна вписати коло, то в таку призму не можна вписати кулю.

5. Розв’язування задач.

1.  У кулю радіуса R вписана пряма призма, основа якої – прямокутний трикутник із гострим кутом α . Найбільша бічна грань призми – квадрат. Знайдіть об’єм призми. (Відповідь: .)

 

2.  Основою прямої призми, описаної навколо кулі радіуса R, є прямокутний трикутник, гострий кут якого дорівнює α. Знайдіть повну поверхню призми. (Відповідь: 6R2 сtg tg.)

3.  Задача № 52 (2, 3) із §6 (с. 99) підручника.

Правильну n-кутну призму вписано у кулю радіуса R. Ребро основи призми дорівнює а. Знайдіть висоту призми, якщо: 1) n = 3; 2) n = 4; 3) n = 6.

 

Означення: Центром кулі, описаної навколо піраміди, є точка перетину перпендикуляра до основи, який проведено з центра описаного навколооснови кола, і площини, що проходить через середину будь-якого ребра, перпендикулярного до нього. Якщо навколо основи піраміди не можна описати коло, то навколо такої піраміди не можна описати кулю. Навколо правильної піраміди завжди можна описати кулю.

Означення: Центром вписаної у піраміду кулі є точка перетину бісекторних площин двогранних кутів при основі. Центром кулі, вписаної у правильну піраміду, є точка перетину її висоти з бісектральною плдощиною, проведеною через сторону основи піраміди.

Розв’язування задач.

1.  Задача № 49 із §6 (с. 99).

Знайдіть радіус кулі, описаної навколо правильного тетраедра з ребром а.

2. Задача № 51* із §6 (с. 99).

У кулю радіуса R вписано правильну трикутну піраміду з плоскими кутами α при вершині. Знайдіть висоту піраміди.

3.  Задача № 53 із §6 (с. 99).

Сторона основи правильної n-кутної піраміди дорівнює а, двогранний кут при основі дорівнює φ. Знайдіть радіус кулі, вписаної у піраміду.

4.  Задача № 54 із §6 (с. 99).

Знайдіть радіус кулі, описаної навколо правильної n-кутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює а, а бічне ребро нахилене до площини основи під кутом α.

7. Підсумок уроку.

Запитання до класу:

1.  Яка точка є центром кулі, описаної навколо многогранника?

2.  Чому дорівнює діаметр кулі, вписаної в пряму призму?

8.  Домашнє завдання.

Задача № 50, 52(1) із §6 (с. 99).

Тема 5. Комбінації тіл обертання.

Мета: ознайомлення з комбінаціями тіл обертання; формування вмінь розв’язувати задачі на комбінації тіл обертання.