Комбінації геометричних тіл (стр. 1 )

 

Зміст.

1.  Комбінації многогранників.

2.  Комбінації многогранників і циліндра.

3.  Комбінації многогранників і конуса.

4.  Комбінації многогранників і кулі.

5.  Комбінації тіл обертання.

6.  Тематична контрольна робота № 8.

Тема 1. Комбінації многогранників.

Мета: ознайомлення з комбінаціями многогранників; формування вмінь розв’язувати задачі на комбінації многогранників.

Обладнання: моделі многогранників.

Тип уроку: Пояснення нового матеріалу.

Хід уроку.

1. Організація класу.

2. Пояснення нового матеріалу.

Означення: Многогранник називається вписаним в інший многогранник, якщо всі вершини першого лежать на поверхні (ребрах або гранях) другого многогранника.

При цьму другий многогранник називається описаним навколо першого.

Більшість задач на вписані і описані многогранники – це заадачі на вписані в піраміду призми, зокрема куби. При цьому вершини нижньої основи вписаної призми лежать в основі піраміди, а вершини верхньої основи – на ребрах або апофемах бічних граней.

Задача: У правильну чотирикутну піраміду вписано куб так, що чотири його вершини знаходяться в площині її основи. Знайдіть ребро куба, якщо в піраміді сторона основи дорівнює а, а висота – h.

Розв’язання.

 

Нехай МАВСD – дана правильна чотирикутна піраміда, МО – її висота. А1В1С1D1А2В2С2D2 – куб вписаний у цю піраміду. За умовою задачі АВ = ВС = СD = АD = а, МО = h. Тоді АО = = .

Нехай А1В1 = х, тоді МО1 = h – х, А2О = А1О1 = .

ΔМАО ∞ ΔМА1О1 і, отже, АО/А1О1 = МО/МО1;

= ;

аh - ах = hх;

аh = х(а+h);

х = – шукане ребро куба.

Відповідь: .

3.  Розв’язування задач.

1.  У правильному тетраедрі кожне ребро дорівнює а. У нього вписана правильна трикутна призма так, що одна її основа лежить на грані, а вершини другої основи – на ребрах тетраедра. Знайдіть ребро призми, якщо відомо, що її висота дорівнює стороні основи. (Відповідь: а(- 2).)

2.  Бічне ребро і висота правильної чотирикутної піраміди дорівнюють відповідно 12 і 4 см. У піраміду вписано куб так, що його чотири вершини лежать на основі піраміди, а чотири – на апофемах піраміди. Знайдіть ребро куба. (Відповідь: ·(4 - )см.)

3.  Центри граней куба є вершинами правильного октаєдра. Знайдіть відношення об’ємів куба і октаєдра. (Відповідь: 6:1.)

4.  Центри граней правильного тетраедра є вершинами нового тетраедра. Знайдіть відношення їх поверхонь і об’ємів. (Відповідь:1:9, 1:27.)

5.  Дана чотирикутна піраміда, основою якої є квадрат, а одне із бічних ребер перпендикулярне до площини основи. У цю піраміду вписано куб так, що його нижня основа лежить на основі піраміди, а сторони верхньої основи лежать на бічних гранях піраміди. Знайдіть об’єм піраміди, якщо дві її бічні грані нахилені до площини основи підкутом φ, а ребро куба дорівнює а. (Відповідь: ·а3(1+ctgφ)2(1+tgφ).)

6.  Рівносторонній трикутник із стороною а є основою прямої призми і правильної піраміди, які мають спільну висоту. Знайдіть різницю об’ємів призми і піраміди, якщо двогранний кут при основі піраміди дорівнює α. (Відповідь: .)

4.  Підсумок уроку.

Запитання до класу:

1.  Який многогранник називається вписаним в інший многогранник?

2.  Знайдіть сторону основи правильної чотирикутної піраміди, яка вписана в іншу правильну чотирикутну піраміду зі стороною основи а.

 

5.  Домашнє завдання.

Розв’язати наступну задачу:

Центри граней правильного октаедра є вершинами куба. Знайдіть відношення об’ємів октаедра і куба. (Відповідь 9:2.)

Повторити п. 54 §6 підручника.

Тема 2. Комбінації многогранників і циліндра.

Мета: ознайомлення з комбінаціями многогранників і циліндрів; формування вмінь розв’язувати задачі на комбінації многогранників і циліндрів.

Обладнання: моделі многогранників.

Тип уроку: Пояснення нового матеріалу.

Хід уроку.

1. Організація класу.

2. Перевірка домашнього завдання.

Перевірити правильність виконання домашньої задачі.

Розв’язання задачі:

Нехай ребро правильного тетраедра дорівнює а. Зобразимо переріз даної комбінаціїтіл площиною, яка проходить через дві протилежні вершини В і D октаедра і центр N однієї його грані. Перерізом октаедра є ромб АВСD, сторона якого дорівнює висоті правильного трикутника із стороною а: ВС = а√3/2, АС = а. Перерізом куба є прямокутник МNКL, NК – ребро куба, МN – діагональ його грані. Оскільки точка N – центр правильного трикутника, то NС : ВС = 1 : 3.

Виразимо через об’єми октаедра і куба:

ОС = АС = .

З ΔВОС ВО = = = .

Об’єм V1 октаедра дорівнює подвоєному об’єму правильної чотирикутної піраміди з площею основи а2 і висотою ВО:

V1 = 2· а2 · = .

Оскільки ΔNСК∞ΔВСD, то = = , звідки NК = ·2·ВО = .

Об’єм V2 куба: V2 = NК3 = .

Отже, V1: V2 = : = 9:2.

Відповідь: 9:2.

3. Пояснення нового матеріалу.

Означення: призма називається вписаною в циліндр, якщо її основи – рівні многокутники, вписані в основи циліндра, а бічні ребра призми є твірними циліндра.

Означення: призма називається описаною навколо циліндра, якщо її основи – рівні многокутники, описані навколо основ циліндра, а полщини граней призми дотикаються до бічноїповерхні циліндра.