Отражение и преломление сейсмических волн на криволинейном контакте неоднородных сред в терминах конволюционных операторов прохождения (стр. 2 )

Основными результатами автора работы являются:

1). Показано, что t–гиперболическая система уравнений остается неизменной при переходе из глобальных декартовых координат в специальные криволинейные координаты, согласованные с геометрической формой заданной криволинейной поверхности.

2). Граничные условия на плоском контакте двух разнотипных сред трансформированы в виде линейного преобразования отражения-преломления в терминах матричных конволюционных операторов прохождения.

3). Показано, что выведенное линейное преобразование отражения-преломления выполняется на криволинейном контакте однородных и неоднородных сред при использовании специальных криволинейных координат, согласованных с геометрической формой заданной криволинейной поверхности.

4). Приведен явный вид операторов и операндов, выведенных в общем случае, для случая упругой изотропной среды.

На основании результатов, полученных автором в ходе исследований, сделаны устные доклады на 52 и 53 Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2014, 2015), секция Математика, подсекция Вещественный, комплексный и функциональный анализ [4], подсекция Дифференциальные уравнения [5].

Работа состоит из Введения, трех содержательных Глав, Заключения и списка литературы. В Главе 1 рассмотрена постановка задачи отражения-преломления в терминах механики сплошной среды для канонической модели: криволинейный контакт двух неоднородных эффективных (сложного внутреннего строения) полупространств. В качестве примера приведен явный вид тензоров, дифференциального оператора и векторов в случае однородной изотропной упругой среды. В Главе 2 дан вывод обобщенного спектрального разложения решения в окрестности заданной криволинейной поверхности в однородной и неоднородной среде. Показано, что обобщенное разложение изоморфно классическому разложению по плоским волнам с точностью до замены глобальных декартовых координат на длины дуг специальных римановых координат. Приведен вывод преобразования из декартовых координат в специальные римановы в инфинитезимальной окрестности заданной бесконечной поверхности класса . В Главе 3 граничные условия на плоском контакте двух однородных эффективных сред, записанные в терминах механики сплошной среды, трансформированы в преобразование отражения-преломления, записанное в терминах конволюционных операторов прохождения. Показано, что такое преобразование отражения-преломления сохраняет свой вид в случае криволинейного контакта двух неоднородных эффективных сред, если введена специальная риманова система координат, согласованных с геометрической формой заданной бесконечной поверхности класса . В Заключении приведены основные результаты выполненной работы, дана оценка степени их новизны и личного вклада автора.

1. Начально-краевая задача в двухслойной среде

В данной Главе приведено математическое описание рассматриваемого класса моделей сред, рассмотрена постановка задачи отражения-преломления в терминах механики сплошной среды для канонической модели: криволинейный контакт двух неоднородных эффективных (сложного внутреннего строения) полупространств.

1.1 Математическое описание модели среды

В этом Разделе рассмотрено описание рассматриваемой модели среды.

В наши дни существует множество теоретических методов построения макроскопической эффективной модели микроскопической неоднородной (многофазной) среды (см. подробности в [15], [31], [32]). Несмотря на разницу между различными методами, показано, что упругие колебания скелета и акустические колебания жидкости, связаны с электромагнитными полями пьезоэлектрической и электрокинетической природы, эффективные модели могут быть описаны t-гиперболической системой уравнений первого порядка (см. подробности в [15], [22], [33], [38], [39], [41]) или эквивалентной гиперболической системой уравнений второго порядка [32]. Разница между эффективными моделями, обеспеченная различными методами, заметна только в изменениях скалярных компонент матрицы макроскопических материальных параметров среды. Эти изменения связаны с разницей в наборе микроскопических физических феноменов, принятых во внимание в различных методах. Поэтому мы рассматриваем, без потери общности, t-гиперболическую систему первого порядка для произвольной среды. Однако, за исключением простейших типов сред (акустика, идеальная упругость), в общем случае дифференциальный оператор этой системы не является самосопряженным. Это усложняет математический аппарат. Для упрощения математического аппарата в данной работе t-гиперболическая система первого порядка ниже перезаписывается в терминах математического формализма, введенного в работах [11], [15], [20], [22], [33].

Мы рассматриваем два полупространства и , разделенные границей . Граница является регулярной (дважды непрерывно дифференцируемой) поверхностью. Следуя работе [15], введем шар конечного радиуса . Криволинейная часть границы имеет конечную площадь. Часть границы является плоской. Радиус-вектор обозначает произвольную точку в . Радиус-вектор обозначает точку на границе и предельную точку к ней в . В каждой точке границы нормаль направлена внутрь области.

1.2 Тензорное волновое уравнение в неоднородных полупространствах

В этом Разделе рассмотрена система уравнений механики сплошной среды для неоднородного эффективного полупространства со сложным внутренним строением

Мы рассматриваем механические колебания в произвольной области эффективной среды с материальными параметрами, зависящими от координат. Такие среды принято называть неоднородными. Колебания могут быть описаны линейной t-гиперболической системой частных дифференциальных уравнений первого порядка [15], [22], [33]

Мы используем прямое и обратное преобразование Фурье по времени для вектора искомых решений

Преобразование Фурье позволяет далее рассматривать вектор стационарных решений в виде ( - символ транспонирования), который инвариантен по отношению к типу эффективной среды. Введены кинематический подстолбец , содержащий скорости частиц скелета, жидкостей и газов, заполняющих поры, электрическое поле и т. п., и динамический подстолбец , содержащий компоненты тензора напряжений в скелете, давления в жидкостях и газах, заполняющих поры, магнитное поле и т. п. Например, в акустике кинематический подстолбец имеет вид , где - компоненты скорости частиц в жидкости, динамический подстолбец имеет вид , где - давление.

Используя прямое преобразование Фурье, можно выписать систему t-гиперболических уравнений в терминах тензорного дифференциального оператора и тензора материальных параметров

,

где тензорно дифференциальный оператор

тензор материальных параметров

заданный вектор объемной плотности внешних воздействий

Матрица в содержит такие материальные параметры среды, как плотности, электрические проницаемости и т. п., матрица в содержит такие материальные параметры среды, как податливости сред, магнитные проницаемости и т. п. Дифференциальный набла-оператор в является тензором, который был введен в частном случае упругости в [11]. Явный вид этого тензора в общем случае эффективной среды определяется конкретным типом среды.

В силу свойств преобразования Фурье от функций, заданных на полуоси времени, в частотной области выполняются условия комплексной сопряженности решения относительно частоты [34]