Отражение и преломление сейсмических волн на криволинейном контакте неоднородных сред в терминах конволюционных операторов прохождения (стр. 7 )

Повторяя рассуждения аналогичные предыдущему абзацу, приходим к виду

.

Объединим соотношения и в одну систему

где , , , - матрицы коэффициентов отражения-преломления.

Теперь необходимо перевести полученный результат в координатную форму. Подействовав слева на обратным частичным преобразованием Фурье и учитывая тот факт, что , где - это единичная матрица, перепишется в виде

Учитывая, что и , а - оператор свертки по плоскости, явный вид его

,

где , - оператор отражения, а если - оператор преломления, получим

3.2 Преобразования отражения-преломления на криволинейной границе между неоднородными средами

В этом Разделе граничные условия, записанные в терминах механики сплошной среды, на плоском контакте двух однородных эффективных сред трансформированы в преобразование отражения-преломления, записанное в терминах конволюционных операторов прохождения. Математический подход к выводу трансформации обобщает основные принципы, примененные для акустики и упругости в [24]

По аналогии с разделом 3.1 необходимо подставить пару спектральных представлений решений вида в граничные условия. Однако, спектральное пространственное решение с учетом были выведены для случая постоянных коэффициентов для плоской границы. Чтобы обобщить представление на случай неоднородной среды, будем рассматривать множество ассоциированных систем уравнений с матрицами материальных параметров , замороженными в каждой референтной точке . В результате замораживания можно выписать множество ассоциированных спектральных пространственных представлений вида при

,

где спектральные векторы имеют обобщённый вид:

Подставив ассоциированные обобщенные частичные преобразования Фурье с учетом обобщенного представления в граничные условия, получим граничные условия в пространственно-спектральной форме:

.

Обобщенная пространственно-спектральная форма граничных условий отличается от подобных условий тем, что в обобщенной форме появляется параметрическая зависимость спектральных столбцов и матриц от рефернтной точки. Поэтому автор не повторяет вывод операторов прохождения для криволинейного контакта неоднородных сред. Достаточно во всех формулах с до раздела 3.1 формально заменить декартовы координаты на натуральные длины дуг в специальных римановых координатах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1). Показано, что t–гиперболическая система уравнений остается неизменной при переходе из глобальных декартовых координат в специальные криволинейные координаты, согласованные с геометрической формой заданной криволинейной поверхности.

2). Граничные условия на плоском контакте двух разнотипных сред трансформированы в виде линейного преобразования отражения-преломления в терминах матричных конволюционных операторов прохождения.

3). Показано, что выведенное линейное преобразование отражения-преломления выполняется на криволинейном контакте однородных и неоднородных сред при использовании специальных криволинейных координат, согласованных с геометрической формой заданной криволинейной поверхности.

4). Приведен явный вид операторов и операндов, выведенных в общем случае, для случая упругой изотропной среды.

Второй результат является новой и оригинальной разработкой, и принадлежит автору. Первый и третий результаты являются новой и оригинальной разработкой, и получены автором в соавторстве с научным руководителем. Четвертый результат носит в основном реферативный характер, но частично содержит вклад автора.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю к. ф.м. н., доценту за постановку задачи и комментарии в процессе работы, а также д. ф.-м. н., профессору и д. ф.-м. н., доценту за содержательные комментарии к работе.

ЛИТЕРАТУРА

[1]  Айзенберг A. M., , Отражение и преломление акустических волновых полей на криволинейной границе между двумя неодно­родными средами // Динамика сплошной среды, вып. 123, "Акустика неоднородных сред": РАН, Сибирское отделение, Институт гидродинамики им, М. А, Лаврентьева, Новосибирск, 2005, 73-79.

[2]  Айзенберг A. M., , Хелле граничных условий на кусочно-регулярном контакте неоднородных акустических сред в терминах операторов отражения и преломления // Динамика сплошной среды, вып. 124, "Акустика неоднородных сред": РАН, Сибирское отделение, Институт гидроди­намики им, , Новосибирск, 2007, 151-156.

[3]  Айзенберг A. M., , Айзенберг прохождения сейсмо-электромагнитных волновых полей на плоской границе между однородными пористыми флюидонасыщенными средами // Динамика сплошной среды, вып. 126, "Акустика неоднородных сред": РАН, Сибирское отделение, Институт гидродинамики им. , Новосибирск, 2010, т. 126, 26-32.

[4]  Песчанко отражения и преломления сейсмических волн на криволинейном контакте сред в терминах конволюционных операторов прохождения // Тезисы докладов, 52-я Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс", 2014, Новосибирск, Россия, стр. 33.

[5]  Песчанко процессы на криволинейном контакте сред в терминах конволюционных операторов прохождения // Тезисы докладов, 53-я Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс", 2015, Новосибирск, Россия.

[6]  , Айзенберг A. M., , Ф. Андерссон. Описание отраженных и преломленных сейсмических волн на контакте однородных сред в терминах конволюционных операторов прохождения // Третья международная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач», 2011, Новосибирск, Россия, 50-51.

[7]  , Айзенберг A. M. Операторы прохождения сейсмо-электромагнитных волновых полей на плоской границе между однородными упруго-пористыми флюидонасыщенными средами // Тезисы докладов, Международная научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики", посвященная памяти академика в связи с 90-летием со дня его рождения, 16-18 июня 2009, Москва, Россия, 263-264.

[8]  A. M. Aizenberg, K. D. Klem-Musatov, Progress in seismic diffraction theory – From edge and tip waves to multiple reflections-transmissions with diffractions, Extended Abstracts of the 72-th EAGE Conference & Exhibition (2010) G034.

[9]  A. M. Aizenberg, M. A. Ayzenberg, K. D. Klem-Musatov, Seismic diffraction modeling with the tip-wave superposition method, Extended Abstracts of the 73-th EAGE Conference & Exhibition (2011) B018.

[10]  A. M. Aizenberg, N. Y. Zyatkov, A. A. Ayzenberg, E. Z. Rakshaeva, New concepts of the transmission-propagation oerator theory in seismic diffraction modeling and interpretation, Extended Abstracts, 76th EAGE Conference, Amsterdam, Netherlands, 16-19 June 2014, We-P06-07.

[11]  Auld, B. A. Acoustic fields and waves in solids // Krieger Publ. Co., 1990.

[12]  M. Ayzenberg, A. M. Aizenberg, B. Ursin, Tip-wave superposition method with effective reflection and transmission coefficients: A new 3D Kirchhoff-based approach to synthetic seismic modeling, Leading Edge, 2009, 28, 582-588.

[13]  M. A. Ayzenberg, A. M. Aizenberg, H. B. Helle, K. D. Klem-Musatov, J. Pajchel, B. Ursin, 3D diffraction modeling of singly scattered acoustic wavefields based on the combination of surface integral propagators and transmission operators, Geophysics, 2007, 72, 5, SM19-SM34.

[14]  M. Ayzenberg, I. Tsvankin, A. M. Aizenberg, B. Ursin, Effective refection coefficients for curved interfaces in TI media, Geophysics, 74, 2009, WB33-WB53.

[15]  S. Benzoni-Gavage, D. Serre, Multi-dimensional hyperbolic partial differential equations. First order systems and applications, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, New York, 2007.

[16]  Berkhout A. J. Applied Seismic Wave Theory // Advances in exploration geophysics, Vol. 1, Elsevier, 1987.

[17]  A. M. Blokhin, V. N. Dorovsky, Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum, Nova science publishers, Inc., USA, 1995.

[18]  Burago Yu. D., Ivanov S. V., and Malev S. G., Remarks on chebyshev coordinates // Journal of Mathematical Science, Vol. 140, 4 (2007) 497-501.

[19]  Carcione J. M., Herman G. C., A. P.E. ten Kroode, Seismic modeling // Geophysics, 67, 4 (2002) 1304-1325.

[20]  Chapman C. H. Fundamentals of Seismic Wave Propagation // Cambridge: Cambridge University Press, 2006.

[21]  Dai Z.-J., Kuang Z.-B., Zhao S.-X. Reflection and transmission of elastic waves from the interface of a fluid-saturated porous solid and a double porosity solid // Transport in Porous Media, 2006, 65, 237-264.

[22]  S. K. Godunov, E. I. Romensky, Elements of Continuum Mechanics and Conservation Laws, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2003.

[23]  H. M. de Hoop, A. de Hoop, Wavefield reciprocity and optimization in remote sensing, Proc. R. Soc. Lond. A, 2000, 456, 641-682.

[24]  H. Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer–Verlag, 1963.

[25]  A. Huang, R. Temam, The linear hyperbolic initial and boundary value problems in a domain with corners, Math. AP., 2013.

[26]  Kennett B. L.N. Reflection operator methods for elastic waves // Wave Motion, 1984, 6, 407-429.

[27]  Kennett B. L.N., The Seismic Wavefield, vols. I and II // Cambridge, Cambridge University Press, 2001.

[28]  K. Klem-Musatov, A. Aizenberg, H. B. Helle, J. Pajchel, Reflection and transmission at curvilinear interface in terms of surface integrals, Wave Motion, 2004, 39, 1, 77-92.

[29]  K. Klem-Musatov, A. Aizenberg, H. B. Helle, J. Pajchel, Reflection and transmission in multilayered media in terms of surface integrals, Wave Motion, 2005, 41, 4, 293-305.

[30]  K. D. Klem-Musatov, A. M. Aizenberg, J. Pajchel, H. B. Helle, Edge and Tip Diffractions: Theory and Applications in Seismic Prospecting, Geophysical Monograph Series, No. 14, SEG, Tulsa, USA, 2008.

[31]  A. I. Madyarov, B. B. Guzina, A radiation condition for layered elastic media, J. Elast., 2006, 82, 73-98.

[32]  S. R. Pride, J. G. Berryman, Linear dynamics of double-porosity dual-permeability materials, I. Governing equations and acoustic attenuation, Physical Review E, 2003, 68, 036603, 1-10.

[33]  J. Rauch, Hyperbolic partial differential equations and geometric optics, Department of Mathematics, University of Michigan, 2012, p. p. 301.

[34]  G. F. Roach, Scattering from unbounded surfaces, Proceedings of Dundee Conference, Pitman Research Notes, Longmans, London, 1993, 248-272.

[35]  Skopintseva L. V., M. A. Ayzenberg, M. Landrø, T. V. Nefedkina, A. M. Aizenberg. Long-offset AVO inversion of PP reflections from plane interface using effective reflection coefficients. Geophysics, 2011, 76, 6, C65-C79.

[36]  Skopintseva L. V., A. M. Aizenberg, M. A. Ayzenberg, M. Landrø, T. V. Nefedkina. The effect of interface curvature on AVO inversion of near-critical and postcritical PP-reflections. Geophysics, 2012, 77, 1, N1-N16.

[37]  Ursin B., Review of elastic and electromagnetic wave propagation in horizontally layered media // Geophysics, 48, 8 (1983) 1063-1081.

[38]  K. Wapenaar, General representations for wavefield modeling and inversion in geophysics, Geophysics, 2007, 72, 5, SM5-SM17.

[39]  K. Wapenaar, J. Fokkema, Reciprocity theorems for diffusion, flow and waves, J. Appl. Mech, 2004, 71, 145-150.

[40]  K. Wapenaar, E. Slob, J. Fokkema, Reciprocity and power balance for piecewise continuous media with imperfect interfaces, J. Geophys. Research, 2004, 109, B10301, 1-9.

[41]  K. Wapenaar, H. Douma, A unified optical theorem for scalar and vectorial wave fields, J. Acoust. Soc. Am., 2012, 131, 5, 3611–3626.

[42]  Wenzel F., Stenzel K.-J., Zimmermann U. Wave propagation in laterally heterogeneous layered media. Geophys. J. Int., 1990, V. 103, 675-684.

[43]  Weston V. H. Wave splitting and the reflection operator for the wave equation in R3 // J. Math. Phys., 1989, 30, 11, 2545-2562. 23