.
Дополнительно должны выполняться условия излучения в бесконечно удаленных частях полупространств [34]
.
Поскольку явный вид условий не используется в данной работе, то приведена их формальная запись.
1.3. Граничные условия на контакте двух сред
В этом Разделе рассмотрены граничные условия на криволинейном контакте двух неоднородных эффективных полупространств с различным сложным внутренним строением.
Рассматривается контакт двух неоднородных полупространств 
и 
с плоской границей. Граничные условия заданы в таком виде [34]:
,
где 
и 
- векторы неизвестных решений. Подстолбцы 
и 
имеют разную размерность, так как мы рассматриваем контакт двух произвольных сред.
Чтобы приравнять столбцы неизвестных решений в граничном условии, нам необходимо воспользоваться матрицами 
и 
- согласования размерностей друг с другом. 
и 
- обобщенные ортогональные матрицы поворота, содержащие компоненты базисных векторов глобальной и локальной систем координат. Матрица 
осуществляет линейную трансформацию векторных компонент в кинематическом подстолбце из глобального в локальный базис. Матрица 
осуществляет линейную трансформацию векторных компонент в динамическом подстолбце из глобального в локальный базис. Необходимо отметить, что композитная матрица 
является обобщением на случай контакта разнотипных сред матрицы конкатенации, введенной в [34] на случай контакта однотипных сред. Явный вид матриц 
и 
для случая упругости приведен в разделе 1.4. Полупространства и разделены двусторонней границей 
. Внутренняя нормаль 
в точке 
границы направлена внутрь полупространства 
. В одной части уравнения граничных условий появится знак «минус», так как нормали направлены противоположно друг другу в каждом полупространстве. Поэтому мы пользуемся диагональной матрицей 
, которая согласует нормали с двух сторон границы и содержит 
. Явный вид матрицы 
для случая упругости приведен в разделе 2.3.
Система уравнений с условиями и в каждом из полупространств и граничные условия образуют корректную постановку начально-краевой задачи для рассматриваемой модели среды, т. е. существует ее единственное и устойчивое решение [34]. Главной задачей данной работы является трансформация граничных условий из исходной постановки, заданных в терминах механики сплошной среды, в эквивалентное граничное матричное уравнение с интегральными операторами математической теории волн.
1.4. Явный вид тензоров и векторов для упругой изотропной среды
В этом Разделе приведен явный вид тензоров и векторов, введенных в предыдущих разделах, в частном случае упругой изотропной однородной среды.
В упругой изотропной однородной среде кинематический подстолбец имеет вид 
, где 
- компоненты скорости частиц в скелете, динамический подстолбец имеет вид 
, где 
- диагональные и 
- внедиагональные компоненты симметрического тензора напряжений. Множитель 
в динамическом подстолбце является нормирующим. Нормировка введена для того, чтобы динамический подстолбец имел свойства вектора. Кинематический подстолбец обладает всеми свойствами вектора по построению.
Подматрицы матрицы материальных коэффициентов имеют вид 
и 
, где 
- это плотность среды, 
матрица 
- это матрица модулей податливости среды (величины, обратные модулям упругости Гука). Внутренняя структура матрицы модулей податливости среды приведена для того, чтобы были видны нормирующие сомножители и 
. Благодаря введению такой нормировки, матрица 
обладает всеми свойствами тензора.
Матричный дифференциальный оператор содержит блочные дифференциальные операторы 
, где 
и 
. Благодаря введению нормирующего сомножителя 
, блочные дифференциальные операторы обладают всеми свойствами тензора, т. е. все дифференциальные операторы являются тензорными.
Граничные условия могут быть переписаны в виде 
, где введены векторы граничных значений для тех решений, на которые накладываются граничные условия. Эти векторы имеют вид: 
, где вектор 
состоит из кинематических и динамических компонент. В случае изотропной упругости кинематический подвектор размерности 
имеет вид 
, динамический подвектор размерности имеет вид 
. В случае упругого изотропного контакта подматрицы матрицы согласования размерностей имеют вид 
и 
. Подматрицы диагональной матрицы согласования нормалей имеют вид:
и 
Подматрицы матрицы поворота имеют вид: 
и 
. Множитель в матрице поворота 
является нормирующим. Нормировка введена для того, чтобы эта матрица имела свойства ортогональной матрицы. При этом вся матрица так же ортогональна.
2. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В данной Главе описаны необходимые в данном исследовании фрагменты спектральной теории для симметрических t-гиперболических систем с переменными коэффициентами в глобальном декартовом базисе, рассмотрен явный вид спектральных тензоров и векторов в случае упругих изотропных сред. Система t-гиперболических уравнений трансформируется из глобальной декартовой системы координат в локальную риманову систему координат при условии изоморфности записи. Под изоморфностью записи понимается формальная замена декартовых координат 
во всех формулах на натуральные длины дуг 
в специальных римановых координатах. Показано, что такой изоморфизм выполняется только в специальной системе римановых координат, согласованной с формой заданной криволинейной поверхности,
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
