Введем матрицу поворота из глобальной декартовой системы координат в локальную декартову систему координат, ассоциированную с плоскостью, касательной к поверхности контакта в некоторой его произвольной точке , где . В некоторой точке параметр описывает удаление локальной координатной плоскости от касательной плоскости . На этой плоскости введем локальные координаты , а вдоль нормали направим предпочтительную локальную координату . Введем обозначение производных в локальных координатах . В локальном декартовом базисе искомое решение связано преобразованием поворота с исходным решением . Подействовав матрицей поворота слева на уравнение, получим

.

Обозначим дифференциальный оператор и преобразованную матрицу материальных параметров

.

где матрица учитывает поворот системы координат, матрица

учитывает результат дифференцирования матрицы поворота и является аналогом символов Кристоффеля для искомой системы криволинейных координат в терминах матричного формализма. С учетом уравнение примет вид

,

Так как преобразование из декартовых в криволинейные координаты может иметь особенности при малых удалениях от поверхности , то можно рассматривать уравнение только при :

.

Так как в общем случае матрица в локальных координатах зависит от , то появилась «неоднородность» геометрической природы, связанная с преобразованиями координат. Зависимость матрицы от локальных поверхностных координат не позволяет применить частичное преобразование Фурье к уравнению. Эта проблема может быть решена путем «замораживания» коэффициентов матрицы материальных параметров в некоторой референтной точке. Этот принцип был предложен Хёрмандером [24] для уравнений с переменными коэффициентами. В данной работе принцип Хёрмандера применяется, чтобы можно было использовать спектральную теорию дифференциальных операторов для системы, записанной в римановых координатах. Применяя принцип «замораживания коэффициентов», представим систему уравнений в виде двухпараметрического множества ассоциированных систем уравнений вида

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

,

каждая из которых изоморфна декартовой форме исходной системы.

Вычисляя разницу между ассоциированной системой и исходной системой, получим

Из соотношения и очевидного равенства видно, что достаточно принять совпадение решений в референтной точке , чтобы правая часть в этой точке была равна нулю. Если правая часть равна нулю, тогда все первые производные равны нулю. Поэтому в каждой референтной точке ряды Тейлора первого порядка для соответствующего ассоциированного решения и для решения равны. Сравнив формулы Тейлора второго порядка для этих решений, можно получить для разности решений следующую оценку:

Предположим, что выполняется условие коммутативности

.

Тогда из условия следует, что . Предположим, что выполняется условие

.

Условие является дифференциальным уравнением относительно неизвестной матрицы поворота . Выпишем условие с учетом представления в виде тензорного дифференциального уравнения

.

Уравнение может быть представлено как система дифференциальных уравнений относительно векторов виртуального базиса, которые могут быть получены из представления. В этих векторах содержатся коэффициенты формулы Тейлора второго порядка для неизвестной функции в точке поверхности. В случае акустики и упругости система уравнений может быть сведена к девяти уравнениям в частных производных первого порядка относительно трех базисных векторов. Эта система позволяет восстановить первые две производные в сумме Тейлора для неизвестной функции. В случае более сложных эффективных сред возможность сведения системы уравнений к девяти уравнениям в частных производных первого порядка относительно трех базисных векторов предполагается автором реализуемой, но остается не доказанной в данной работе. При выполнении условий и матрица в локальных координатах сводится к исходной матрице , которая задана в глобальных декартовых координатах. Так как в этом вырожденном случае матрица не зависит от , то нет необходимости вводить множество ассоциированных систем уравнений. В этом случае уравнение в инфинитезимально тонкой окрестности координатной поверхности принимает вид, изоморфный исходному уравнению.

В работе [6] доказано, что условия и выполняются для акустических и изотропных упругих сред. Однако, в работе [14] доказано, что условие не выполняется для анизотропных упругих сред. Поэтому можно сделать вывод, что одновременное выполнение условий и возможно только для упомянутых выше двух типов простейших сред. Поэтому во всех остальных типах сред введение референтных точек неизбежно. Это означает, что наложение условия не отменяет необходимости во введении референтных точек. В случае невыполнения условия вторая матрица , которая содержит вторые производные радиус-вектора , может ослабить гладкость матрицы на один порядок. При таком ослаблении гладкости может потребоваться сужение класса рассматриваемых границ с до . Эти вопросы остались не исследованными и подлежат дальнейшему исследованию автора.

2.4. Риманова метрика, согласованная с формой заданной поверхности

В этом Разделе определяется явный вид метрических коэффициентов искомой римановой метрики в инфинитезимальной окрестности заданной криволинейной поверхности.

Сначала рассмотрим условия и для акустических и изотропных упругих сред, в которых они выполняются. Ниже мы получим локальное представление функции и, как следствие, локальную форму преобразования координат в инфинитезимальной окрестности границы. Для упрощения процедуры вывода искомого представления функции можно рассматривать систему уравнений в терминах набла-формализма, используя математический аппарат из работ [1], [2], [6]. Поэтому достаточно потребовать, чтобы операторы градиента и дивергенции в искомых криволинейных координатах были изоморфны этим же операторам в декартовой системе. Для этого вводится новый специальный векторный базис, по которому идет разложение векторов и тензоров. Векторы этого базиса совпадают с ковариантными базисными векторами по направлению, но отличаются по модулю.

Выписываем систему уравнений на искомые базисные векторы, при которых градиент давления и дивергенция скорости частиц имеют компоненты как в декартовой системе

,

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7