Отражение и преломление сейсмических волн на криволинейном контакте неоднородных сред в терминах конволюционных операторов прохождения (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (Новосибирский государственный университет, НГУ)»

Механико-математический факультет

Направление подготовки «Механика и математическое моделирование», магистратура

Кафедра Математические методы геофизики

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА Магистерская диссертация

Студентки Песчанко Анастасии Иссаевны

"Отражение и преломление сейсмических волн

на криволинейном контакте неоднородных сред

в терминах конволюционных операторов прохождения"

Руководитель: к. ф.-м. н., доц.

_______________

(подпись руководителя)

Студент: ____________________

(подпись студента)

Допуск к защите Зав. кафедрой, член-корр. РАН, проф.

___________________

(подпись зав. кафедрой)

Новосибирск

2016

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Начально-краевая задача в двухслойной среде. . . . . . . . .12

1.1. Описание модели среды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.2. Тензорные волновые уравнения в неоднородных

полупространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.3. Граничные условия на контакте двух сред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Явный вид тензоров и векторов для упругой изотропной среды. . 19

2. Спектральное разложение решения в окрестности криволинейной поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1. Спектральное разложение решения в однородной среде. . . . . . . . 22

2.2. Явный вид спектральных тензоров и векторов

для упругой изотропной среды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Спектральное разложение в окрестности заданной

криволинейной поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.4. Риманова метрика, согласованная с формой

заданной поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Операторы прохождения на криволинейной границе. . .36

3.1. Преобразование отражения-преломления на плоской границе. . . .36

3.2. Преобразование отражения-преломления на

криволинейной границе между неоднородными средами. . . . . .41

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время одной из актуальных задач сейсмики является решение проблемы перехода от использования коэффициентов отражения и преломления плоских или сферических волн, являющихся грубой аппроксимацией, к интегральным алгоритмам, более реалистично описывающим процессы отражения и преломления на криволинейных границах [35], [36]. Коэффициенты отражения и преломления плоских волн не позволяют учитывать влияние кривизны фронта падающей волны и локальную кривизну границы. Коэффициенты отражения и преломления сферических волн не позволяют учитывать влияние локальной кривизны границы. Для разработки более точных алгоритмов AVO инверсии желательно получить точное описание коэффициентов отражения-преломления волн на границе между двумя средами.

В случае плоской границы между однородными средами строгое описание отраженного и преломленного поля было получено в форме разложения на плоские волны с коэффициентами отражения или преломления плоских волн под знаком двукратного преобразования Фурье по границе (интегралы типа Вейля) [35]. Такие представления разработаны для акустических сред, идеально-упругих сред, упруго-пористых сред, упруго-пористых флюидонасыщенных сред с электролитами, двупористых сред [3], [7], [20], [21]. В монографии [16] было показано, что отраженное (преломленное) поле вблизи плоской границы между однородными акустическими средами может быть представлено в виде действия оператора двукратной свертки по границе на граничные значения поля источника. Так как ядра этих операторов имеют вид двукратного преобразования Фурье от известного соответствующего коэффициента отражения или преломления плоских волн, то сами операторы удобно называть операторами прохождения (отражения или преломления). Операторы с такими ядрами позволяют обобщать широко распространенные приближенные методы вычисления отраженных (преломленных) полей, использующие падающие волны с почти плоским фронтом и коэффициенты отражения или преломления плоских волн, на случай падающих волн с неплоским (сферическим) фронтом и операторами прохождения.

Были предприняты многочисленные попытки использовать математическую теорию волн с целью строгого описания полей, отраженных и преломленных на криволинейных границах, в терминах операторов прохождения (отражения и преломления). Для этих операторов в акустической и упругой средах были получены уравнения и системы уравнений типа Рикатти [43] и интегральные уравнения первого рода [26]. Так как решение этих уравнений возможно только численными методами, то возникает неразрешимая проблема обобщения распространенных приближенных методов вычисления отраженных (преломленных) полей на криволинейные границы. По этой причине для однородной среды в работах [42] предложен эвристический подход к построению таких операторов, который основан на разложении функций Грина в интегралах Гельмгольца-Кирхгофа по плоским волнам. Однако такие операторы генерировали артефакты (волновые поля нефизической природы), которые порождались особыми точками коэффициентов отражения и преломления плоских волн. Такие артефакты обладают волновыми свойствами, вследствие чего существенно затрудняют интерпретацию волновой картины. Поэтому проблема построения явного представления операторов прохождения для произвольного контакта неоднородных сред остается актуальной до настоящего времени.

В работах [1], [2], [6], [28], [29] была впервые предложена неизвестная ранее строгая математическая формулировка граничных условий на криволинейном контакте акустических неоднородных сред в терминах операторов прохождения (отражения и преломления) конволюционного типа. Такие условия сопряжения воспроизводят эффекты отражения и преломления на криволинейных границах с учетом головных волн. Эта математическая формулировка была получена из строгой постановки соответствующей начально-краевой задачи математической теории волн. Ядра операторов представлены двукратным пространственным преобразованием Фурье от спектральных коэффициентов, которые имеют вид коэффициентов отражения или преломления плоских волн с материальными параметрами сред и геометрическими параметрами границы, фиксированными в точке вычисления свертки. Такая формулировка основана на комбинировании граничных условий с обобщенным пространственным спектральным разложением полного волнового поля в инфинитезимальной неоднородной окрестности криволинейного контакта сред. Позднее эти результаты были обобщены на криволинейный контакт упругих и пористых сред (см. в работах [3], [7]). В перспективе операторы прохождения конволюционного типа могут быть использованы для разработки приближенных аналитических методов теоретического описания и численного моделирования волновых полей в сложно-построенных средах [8], [9], [10], [12], [13], [14], [30].

Данная работа посвящена аналитическому исследованию по строгой теории отражения и преломления сейсмических волн на криволинейных границах в сложных средах путем обобщения результатов, полученных для акустических и упругих сред. Исследование выполнялось автором во время специализации в группе распространения и дифракции сейсмических волн (руководитель - к. ф.-м. н., доцент ) лаборатории «Динамические проблемы сейсмики» Института нефтегазовой геологии и геофизики (ИНГГ) СО РАН с февраля 2013 года.

Рассматривается постановка начально-краевой задачи о распространении сейсмических волн в канонической модели среды: отражение и преломление волн на криволинейном контакте (из класса поверхностей [18]) двух неоднородных полупространств с различными материальными параметрами. Новым элементом теории является доказательство (в сотрудничестве с научным руководителем) существования такой криволинейной метрики в однородной окрестности криволинейной границы, в которой система уравнений механического движения частиц инвариантна по отношению к ограниченному регулярному возмущению плоской границы. Доказательство основано на введении матрицы преобразования координат и на последующем выделении дифференциальных и алгебраических условий изоморфизма для системы уравнений. Полученные условия образуют краевую задачу для системы дифференциальных уравнений первого порядка. При использовании эвристических наводящих соображений находится одно решение. Тем самым доказано существование решения, а исследование единственности решения находится за пределами данной работы. Полученное решение позволяет построить специальную систему римановых координат в инфинитезимальной окрестности некоторой бесконечной поверхности класса

Спектральная теория дифференциальных операторов позволяет представить общее решение системы уравнений движения частиц в декартовых координатах в виде пространственно-спектрального представления Зоммерфельда-Вейля. Данное представление содержит двукратное преобразование Фурье по пространственным частотам. Основываясь на инвариантности системы уравнений по отношению к преобразованию из декартовых координат в специальные римановы координаты, автором показано, что пространственно-спектральное представление Зоммерфельда-Вейля в криволинейных координатах совпадает с аналогичным представлением в декартовых координатах с точностью до простого переобозначения координат. Полученное представление выполняется только в инфинитезимальной окрестности некоторой бесконечной поверхности класса

Граничные условия начально-краевой задачи, записанные в терминах механики сплошной среды, трансформированы с помощью пространственно-спектрального представления Зоммерфельда-Вейля в эквивалентные условия в форме линейного преобразования отражения-преломления на криволинейной границе. Это преобразование записано в терминах новых матричных операторов прохождения конволюционного типа. Операторы прохождения действуют на предельные значения компонент волновых полей, которые непрерывны на границе. Элементы матричных ядер этих операторов представлены двукратным преобразованием Фурье от коэффициентов отражения или преломления плоских волн с материальными параметрами сред, фиксированными в точке вычисления свертки. Существенно, что геометрические параметры границы между акустическими и изотропными упругими средами не влияют на элементы матричных ядер. Использование фиксированности параметров сред позволяет представить операторы прохождения на криволинейной границе в виде изоморфном операторам прохождения на плоской границе. Криволинейная граница в малой окрестности точки отражения-преломления рассматривается как плоский контакт между однородными средами с материальными параметрами, фиксированными в точке касания.