Отражение и преломление сейсмических волн на криволинейном контакте неоднородных сред в терминах конволюционных операторов прохождения (стр. 4 )

2.1. Спектральное разложение решения в однородной среде

В этом Разделе вводится пространственно-спектральное представление общего решения в форме частичного двукратного преобразования Фурье с трансформантой Вейля.

Рассмотрим однородное полупространство с плоской границей. На плоскости вводится двумерная система ,а по нормали направлена ось глобальной декартовой системы координат [15]. Принято обозначение . Однородная система уравнений вида с постоянными коэффициентами примет вид:

Рассмотрим двукратное (по ,) частичное преобразование Фурье, определенное Хермандером [24] в формуле 1.7.21:

,

где - обозначения, введенные для удобства записи.

Справедлива и формула для обратного преобразования Фурье:

Пространственное решение будет выражаться через частичное преобразование Фурье:

,

Подставляя представление в систему уравнений в частных производных, получим систему уравнений:

Рассматривается характеристический случай, когда дифференциальный оператор имеет ненулевых собственных значений [15]. Причем из них будут положительными, и соответствовать характеристикам в , а из них будут отрицательными и соответствовать характеристикам в . Остальные собственных значения равны нулю. Система распадается на подсистему из обыкновенных дифференциальных уравнений и подсистему из линейных алгебраических уравнений.

Применив известную теорию решения подсистемы обыкновенных дифференциальных уравнений [15], запишем ее общее решение в виде суммы собственных подвекторов размерности . С помощью алгебраической подсистемы найдем дополнительные к ним подвекторы размерности . Составим из этих подвекторов полные векторы размерности . Представим сумму полных собственных векторов в виде

,

где - некоторые коэффициенты. Величина является нормальной к границе компонентой волнового вектора для волны с индексом и определяется при решении характеристического уравнения подсистемы обыкновенных дифференциальных уравнений. Из следует, что трансформанта Вейля имеет вид экспоненциального решения (по Л. Хермандеру [24]).

Спектральное решение может быть записано в матрично-векторном виде

,

где - столбец неизвестных коэффициентов размерности , - прямоугольная матрица размерности , составленная из собственных векторов при , - диагональная матрица размерности , содержащая экспоненты из.

Разбив столбец неизвестных коэффициентов на подстолбцы и , соответствующие положительным и отрицательным собственным значениям, представим в блочно-диагональном виде:

Так как предельное значение матрицы экспонент в точках, близких границе, имеет вид

,

то при принимает вид:

2.2. Явный вид спектральных тензоров и векторов для упругой изотропной среды

В этом Разделе приведены спектральные тензоры и векторы, введенные в предыдущем разделе, в частном случае упругой изотропной однородной среды.

В изотропной упругости существуют три () независимые волны (продольная и две поперечные и ). Диагональные матрицы размерности , содержащие экспоненты из, имеют явный вид:. Квадратные матрицы имеют размерность , прямоугольные матрицы имеют размерность . Вспомогательные матрицы имеют размерность , где . Поляризационный вектор продольной волны равен волновому вектору . Поляризационные векторы поперечных волн имеют вид , где введены волновые векторы поперечных волн при , вектор - это нормаль к заданной плоской поверхности.

2.3. Спектральное разложение в окрестности заданной криволинейной поверхности

В этом Разделе выводится обобщение результатов предыдущего раздела на малую окрестность заданной криволинейной поверхности. Сначала рассматривается однородная среда. Затем полученные результаты обобщаются на неоднородную среду.

Введем в окрестности некоторой криволинейной поверхности класса специальную криволинейную систему координат, согласованную с формой поверхности (Рис. 2.1).

Рис. 2.1. Криволинейная поверхность в плоском сечении.

Радиус-вектор точки в пространстве в окрестности границы в системе координат описывается уравнением

,

где - радиус-вектор границы (Рис. 2.1), - нормаль к границе, а - длина дуги, которая является неизвестной функцией криволинейных координат, вдоль прямой, направленной по нормали. Длины дуг вдоль координатных кривых вычисляются по формуле: . Дифференцируя по всем трем переменным, можно получить ковариантные базисные векторы, а по ним все компоненты метрического тензора.