Отражение и преломление сейсмических волн на криволинейном контакте неоднородных сред в терминах конволюционных операторов прохождения (стр. 6 )

,

Чтобы ввести изометрические (конформно-евклидовы) координаты на поверхности, которые не имеют особых точек, необходимо сначала ввести такую систему координат, которая не имеет особых точек. Чебышевская система координат является таковой, координатные кривые которой начинаются и заканчиваются на бесконечности и пересекаются в центре координат. Чебышевская система координат может быть введена на бесконечной границе, если граница принадлежит классу поверхностей ограниченной кривизны (поверхности ) [24].

Пусть граница описывается вектором , где - Чебышевские координаты, которые также являются длинами дуг координатной кривой. Единичные базисные векторы получаются дифференцированием радиус-вектора по координатам соответственно. Из них получаются компоненты метрического тензора

где - угол между двумя координатными кривыми, и - базисные векторы.

Трансформируем полученные координаты в специальную ортогональную систему невырожденных координат . Базисные векторы и для этой системы координат получаются путем введения линейной трансформации исходных базисных векторов и в виде

.

С учетом можно получить метрику в изометрических (конформно-евклидовых) координатах

.

Определим искомую функцию при условии . Для этого представим ее формулой Тейлора второго порядка. Найдем два неизвестных коэффициента в этой формуле. В системе решаем первые два уравнения, удовлетворяя первые два условия в, получим

В системе решаем третье уравнение, удовлетворяя третье условие в, получим

С учетом и можно выписать явный вид формулы в виде

3. Операторы прохождения на криволинейной границе

В данной Главе граничные условия, записанные в терминах механики сплошной среды, на плоском контакте двух однородных эффективных сред трансформированы в преобразование отражения-преломления, записанное в терминах конволюционных операторов прохождения; показано, что преобразование отражения-преломления сохраняет свой вид в случае кривизны контакта и неоднородности сред, если введена специальная система криволинейных координат, согласованных с геометрической формой границы.

3.1 Преобразования отражения-преломления на плоской границе

В этом Разделе граничные условия, записанные в терминах механики сплошной среды, на плоском контакте двух однородных эффективных сред трансформированы в преобразование отражения-преломления, записанное в терминах конволюционных операторов прохождения. Математический подход к выводу трансформации обобщает основные принципы, примененные для акустики и упругости в [24]

Рассмотрим плоскую границу, разделяющую два полупространства. Каждое из полупространств заполнено некоторой однородной эффективной средой. Рассматривается общий случай, когда типы сред разные. При этом тензорные волновые уравнения имеют существенно разные размерности. Например, одно тензорное волновое уравнение для акустической среды имеет размерность и его векторное решение имеет размерность , а второе тензорное волновое уравнение для упругой изотропной среды имеет размерность и его векторное решение имеет размерность . Для рассмотрения общего случая, когда плоская граница не совпадает ни с одной осью глобальных декартовых координат, необходимо выполнить преобразование поворота для вектора решений. При этом нормаль к плоской границе совпадает с третьим базисным вектором локальной декартовой системы.

Подставив частичное преобразование Фурье с учетом представления в граничные условия, получим граничные условия в пространственно-спектральной форме:

.

Так как в системе линейных алгебраических уравнений количество неизвестных вдвое больше, чем уравнений, то невозможно найти все четыре неизвестных и . Однако, можно найти любые два из них, полагая два оставшихся известными. В отдельной среде у границы всегда распространяется пара независимых волн. Одна из них движется к границе и связана с или , а вторая движется от границы и связана с или . Цель последующих преобразований - переписать граничное условие в форме, адекватной процессам распространения этих пар волн.

Для удобства записи введем матрицы и за матрицы и . Тогда формула перепишется в виде

,

где - это вектор , а - это вектор . Решим уравнение с учетом существования пары волн, распространяющихся во встречных направлениях. Для этого необходимо некоторым преобразованием из матрицы получить ортогональную матрицу. Этого можно добиться умножением всего уравнения на некоторую матрицу. В силу спектральной теории искомая матрица должна состоять из столбцов, ортогональных столбцам матрицы . Умножив на некоторую транспонированную матрицу , получим

,

где - матрица, явный вид которой не важен, а - ортогональная матрица. Равенство может быть переписано в виде

Матрица может быть разбита на сумму диагональной матрицы и антидиагональной

Используя, перепишем, переставив в правую часть равенства член :

Умножив на матрицу , обратную диагональной матрице , получим

Интегральное уравнение эквивалентно граничным условиям, в котором вектор неизвестных выражается через векторы и .

Необходимо получить представление для вектора , аналогичное соотношению. Чтобы получить необходимое представление для вектора , перепишем граничные условия в виде