Тема 2. Оптимизационные методы получения детерминированных оценок (стр. 13 )

Как следует из табл.2.13, максимальное повышение уровня технической готовности по всем лесхозам равно , причем в 1-ый лесхоз должно быть направлено трактора. Из оставшихся 4-х тракторов во 2-ой лесхоз должно быть направлено трактор. Из оставшихся 3-х тракторов во 3-ий лесхоз должно быть направлено тракторов. В 4-ый лесхоз должно быть направлено тракторов. В 5-ый лесхоз должно быть направлено трактора.

Из решения задачи видно, насколько трудоемким является метод динамического программирования. Поэтому его следует применять, используя соответствующее программное средство. Для рассмотренной задачи программа весьма компактна, ее текст (C++) помещен в приложении.

2.8. Оптимизация в функциональных пространствах

2.8.1. Функционалы и некоторые задачи их оптимизации

Понятие функционала является обобщением понятия функции. Пусть – множество любых объектов. Если каждому объекту из множества поставлено в соответствие число , то говорят, что на множестве определен функционал. Функционал есть отображение произвольного множества в множество действительных (или комплексных ) чисел. Таким образом, если , то число есть значение функционала.

Задача оптимизации в множестве ставится следующим образом: требуется определить объект , для которого функционал принимает экстремальное значение.

Объектами множества могут быть функции одной или нескольких переменных. В этом случае имеют дело с функциональными пространствами. Для функций одной переменной, определенных на отрезке , такими пространствами являются: множество всех ограниченных функций , множество всех непрерывных функций , множество всех непрерывно-дифференцируемых функций и др.

Рассмотрим примеры функционалов, определенных в этих функциональных пространствах.

1. Пусть – любое фиксированное число. Каждой функции сопоставим число, равное значению этой функции в точке : . Это есть функционал, для которого .

2. Пусть на отрезке взято точек , и пусть – произвольные постоянные числа. Тогда для любой функции функционал можно определить по формуле .

3. В пространстве непрерывных функций определим функционал по формуле , где .

4. В пространстве длина линии есть функционал .

Задачи отыскания наибольших и наименьших значений функционалов были поставлены впервые античной наукой. Древнейшей из известных экстремальных задач является классическая изопериметрическая задача, которая может быть сформулирована в двух видах:

·  среди плоских замкнутых кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую наибольшую площадь;

·  среди пространственных замкнутых поверхностей, имеющих заданную площадь, найти поверхность, охватывающую наибольший объем.

Эта задача связана с поиском идеальных форм, и ее решением является круг и шар, которые в древности были символами геометрического совершенства. Другие постановки задачи получаются, если среди всех кривых данной длины с закрепленными концами и требуется найти такую, которая вместе с отрезком ограничивает фигуру наибольшей площади. Приведем другие задачи на оптимизацию в функциональных пространствах.

Задача о брахистохроне. В вертикальной плоскости даны две точки и . Требуется определить путь, спускаясь по которому под действием собственной тяжести, материальная точка, начав двигаться из точки , дойдет до точки в кратчайшее время.

Соединим точки и всевозможными кривыми, идущими сверху вниз (рис. 2.18).

Рис. 2.18. К задаче о брахистохроне

Если материальная точка начнет падать из точки по одной из этих кривых, то через некоторое время она попадет в точку . Это время можно рассматривать как функцию, заданную на множестве всех кривых, идущих из точки в точку в указанном направлении. Если кривая сначала круто падает вниз, а потом полого идет до точки (кривая 1), то движущаяся точка сначала будет падать быстро, а потом медленно. Если же она круто падает лишь в самом конце (кривая 3), то точка потеряет много времени на начальном отрезке пути. Возникает задача об отыскании такой кривой, что, двигаясь по ней, падающая точка быстрее всего попадет в точку . Такая кривая носит название брахистохрона от греческих слов «брахистос» – кратчайший и «хронос» – время.

Введем в плоскости систему координат так, чтобы ось была горизонтальна, а ось направлена вниз. Будем считать, что точка совпадает с началом координат, а точка имеет координаты . Пусть – функция, задающая уравнение кривой, соединяющей точки и . Тогда , . Будем считать, что функция непрерывно дифференцируема.