Тема 2. Оптимизационные методы получения детерминированных оценок (стр. 15 )

определенный на функциях с закрепленными концами: , , . В трехмерном пространстве каждой паре допустимых функций , отвечает линия, проходящая через точки и .

Как и раньше, можно доказать, что необходимым условием минимума функционала является система дифференциальных уравнений Эйлера

, .

2.8.3. Задача Лагранжа

Одной из основных задач классического вариационного исчисления является задача Лагранжа. Она состоит в минимизации функционала, зависящего от нескольких переменных, при наличии дифференциальных ограничений типа равенств: требуется определить функции , , заданные на отрезке , для которых функционал

достигает минимальное значение при ограничениях

и граничных условиях

, , .

В векторной форме эта задача имеет более компактную запись:

при ограничениях

,

и граничных условиях

, .

Здесь введены следующие обозначения векторов: , , , .

Общий подход к решению этой задачи (при некоторых допущениях) состоит в следующем. Составляется функция Лагранжа

.

Если вектор-функция доставляет локальный минимум в задаче Лагранжа, то найдутся число и функции , , такие, что для подынтегральной функции

справедлива система уравнений Эйлера. В этом заключается необходимое условие минимума функционала.

2.8.4. Некоторые сведения об оптимальном управлении

Теория оптимального управления – раздел математики, в котором изучаются методы формализации и решения задач о выборе наилучшего способа осуществления управляемого динамического процесса. В этой теории изучаются методы решения неклассических вариационных задач оптимального управления. Основы общей теории оптимального управления были заложены в 1956-1961 г. Ключевым пунктом этой теории послужил принцип максимума .

Задача оптимального управления в общем виде может быть описана следующим образом.

1.  Дана управляемая система , состояние которой в момент времени изображается величиной (например, вектором обобщенных координат и обобщенных импульсов механической системы, вероятностным распределением, характеризующим текущее состояние системы, вектором выпуска продукции в динамической модели экономики и т. д.). К системе приложены управляющие воздействия , оказывающие влияние на ее динамику. Они могут, например, иметь смысл механических сил, температурных или электрических потенциалов, программы капиталовложений и т. д.

2.  Дана система дифференциальных уравнений, связывающая переменные , и и описывающая динамику системы. Указан промежуток времени , на котором рассматривается система уравнений.

3.  Известен характер информации, которая может быть использована для формирования управляющих воздействий. Оговорен класс функций, описывающих управления (множество кусочно-непрерывных функций, множество линейных функций и т. д.).

4.  Установлены ограничения на процесс и, прежде всего, условия, определяющие цель управления. Ограничения могут быть наложены на параметры управления и на координаты . Здесь и – замкнутые множества.

5.  Задан критерий качества процесса, представимый в виде функционала от переменных , на рассматриваемом отрезке времени.

Для заданной системы в заданном классе управлений требуется выбрать управление , оптимизирующее показатель . Функция вида , решающая задачу оптимального управления, называется оптимальным управлением.

Приведем математическую формулировку типичной задачи оптимального управления. Дана система обыкновенных дифференциальных уравнений

(2.23)

где – фазовый вектор, – управляющий параметр, – вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных и непрерывно-дифференцируемая по . В пространстве задано множество допустимых значений управляющего параметра ; в фазовом пространстве даны точки и , фиксирован начальный момент времени . Допустимым управлением является любая кусочно непрерывная функция , , со значениями во множестве . Говорят, что допустимое управление переводит фазовую точку из положения в положение , если соответствующее ему решение системы (2.23), удовлетворяющее условию , определено при всех и . Среди всех допустимых управлений, переводящих фазовую точку из положения в положение , требуется найти оптимальное управление – функцию, минимизирующую функционал