Тема 2. Оптимизационные методы получения детерминированных оценок (стр. 16 )

. (2.24)

Здесь – заданная функция того же класса, что и компоненты , – решение системы (2.23) с начальным условием , отвечающее управлению , – момент прохождения этого решения через точку . Под решением задачи понимают пару, состоящую из оптимального управления и отвечающей ему оптимальной траектории системы (2.23).

Сформулированная задача является частным случаем задачи Лагранжа (в векторной форме и в других обозначениях), которая имеет исключительную важность для практики. Переменные в задаче разделены на фазовые и управления . Кроме того, на управления накладываются дополнительные ограничения: , где – фиксированное множество векторов из .

Задача оптимального управления описывает динамические объекты, где допустимо вмешательство человека. Теория решения таких задач была разработана и его учениками , , . Основной метод решения задачи состоит в составлении и решении уравнений Эйлера и применении принципа максимума Понтрягина.

Пусть – скалярная функция (гамильтониан) переменных , , , где , , , . Функции ставится в соответствие каноническая система

, (2.25)

(первое из этих уравнений есть система (2.23)). Пусть

.

Принцип максимума Понтрягина. Если , () – решение задачи оптимального управления (2.23)-(2.25), то существует такая ненулевая абсолютно непрерывная функция , что тройка функций , , удовлетворяет на системе (2.25) и для почти всех выполняется условие максимума

, (2.26)

а в конечный момент – условия

, . (2.27)

Если функции , , удовлетворяют соотношениям (2.25)-(2.27) (говорят, что , образуют экстремаль Понтрягина), то имеют место условия

, .

Компоненты вектора носят название сопряженных переменных. Они играют роль, аналогичную множителям Лагранжа в классическом вариационном исчислении.

Открытие принципа максимума Понтрягина послужило базисом в создании математической теории оптимального управления. Оно стимулировало новые исследования в теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе и теории экстремальных задач, вычислительной математике и других смежных областях.