Тема 2. Оптимизационные методы получения детерминированных оценок (стр. 14 )

Из физики известно, что скорость точки равна , , где – ускорение силы тяжести. Длина кривой на участке равна . Следовательно, время, требуемое для преодоления этого участка кривой, равно , а время прохождения всей кривой от до равно интегралу

.

Отсюда получается следующая формализация задачи о брахистохроне. Среди всех функций , удовлетворяющих условиям , , найти ту, для которой функционал принимает наименьшее значение.

Задача о поверхности вращения наименьшей площади. Среди линий, соединяющих две точки плоскости, найти ту, дуга которой при вращении около оси образует поверхность с наименьшей площадью.

Пусть и – точки плоскости, – уравнение линии, соединяющей точки и . Площадь поверхности, образованной вращением линии вокруг оси рассчитывается по формуле

.

Возникает задача оптимизации: среди функций таких, что , , определить функцию, для которой функционал принимает наименьшее значение.

Рассмотренные здесь задачи имеют бесконечное множество неизвестных. Это множество кривых или функций . Так, в задаче о брахистохроне множество всех кривых, соединяющих две точки, бесконечномерно, и требуется найти экстремум функции бесконечного числа переменных. Задача была поставлена в 1696 г. Иоганном Бернулли. После этой работы было решено много подобных задач: о кратчайших линиях на поверхности (геодезические линии), о равновесии тяжелой нити и др. Задача о брахистохроне положила начало вариационному исчислению, являющемуся важным методом решения задач оптимизации в функциональных пространствах.

2.8.2. Идея вариационного исчисления

Необходимым условием экстремума дифференцируемой функции одной переменной является равенство нулю ее производной. В вариационном исчислении этому свойству имеется свой аналог.

Рассмотрим простейший функционал вида

,

определенный на функциях . Здесь – некоторая заданная функция. Введем множество . Элементами множества являются непрерывно-дифференцируемые функции, графики которых проходят через точки и . Требуется найти функцию , для которой функционал принимает минимальное значение.

Рассмотрим семейство функций , зависящих от параметра . Будем считать, что и . Тогда .

Значение функционала для функции равно

.

Пусть функция дает минимум функционалу, тогда имеет минимум при . Отсюда следует, что производная функции обращается в нуль при :

.

Это равенство должно выполняться для любой функции , такой что . Интегрируем второй член по частям, получим

.

Тогда

.

Последнее равенство справедливо для любой функции , такой что . В этом случае легко доказать, что

.

Это есть дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно функции . Оно называется уравнением Эйлера.

В нашей задаче с закрепленными граничными значениями нужно найти только те решения уравнения Эйлера, которые удовлетворяют условиям: и . Таким образом, задача минимизации функционала приводит нас к граничной задаче дифференциальных уравнений. Каждое решение такой граничной задачи может только подозреваться на минимум и в дальнейшем еще надлежит проверить, будет ли оно требуемым.

Заметим, что разность называется вариацией функции , а разность – полной вариацией функционала. Отсюда и происходит название вариационного исчисления.

Применим уравнение Эйлера к решению задачи о брахистохроне, математическая модель которой состоит в следующем:

при ограничениях

, .

Постоянный множитель в знаменателе при этом опущен. Так как

,

то уравнение Эйлера имеет вид

.

В результате преобразований получим, что брахистохрона есть циклоида с параметрическими уравнениями:

,

где находится из условия .

Описанный подход обобщается на функционалы, зависящие от нескольких функций. Пусть требуется минимизировать функционал

,