Расчет пластинки на изгиб (стр. 2 )

Составляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения (1.10)

. (1.11)

Решением характеристического уравнения (1.11) является попарно кратные корни

Учитывая кратность корней, общее решение дифференциального уравнения (1.10) запишется в виде

(1.13)

где Х0m - частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1.10).

При q = const, очевидно, получим:

Решение дифференциального уравнения (1.10) в виде (1.13) удобно при решении с использованием ЭВМ. При решении задачи на микрокалькуляторе более удобна форма решения с использование гиперболических функций

.(1.13а)

Введем обозначения

(1.14)

С учетом формул (1.14) решения (1.13,1.13a) можно записать в виде

. (1.15)

Дифференцируя функции по x, получим

(1.16)

Получим значения функции и ее производных при нулевом значении аргумента

Аналогично для функций , получим

(1.16,а)

Обобщая формулы (1.16a) получим

(1.16,б)

При нулевом значении аргумента имеем

, ,

, . (1.16,в)

Константы определяются при удовлетворении гранич­ных условий на краях АС и BD.

Учитывая решение (1.7) и формулы (1.5) получим формулы углов поворота и внутренних усилий

;

;

;

;

; (1.17)

;

;

;

.

2. Пример расчета

Провести расчет прямоугольной пластинки шарнирно опертой по двум противоположным сторонам (рис. 3) методом Леви. Край АВ (х=0) упруго защемлен, край CD (x=a) упруго оперт. Пластинка загружена равномерно распределенной нагрузкой q = const. По результатам расчета построить эпюры прогибов - W и изгибающих моментов в средних сечениях пластинки х=а/2 и y=b/2 .

Исходные данные

а = 6 м, b = 4 м, h = 10 см, Е =3.5х104 МПа, v = 0.15, q = 10 КПа;

Кw = 3.0 МН/м2 - коэффициент погонной жесткости упругой опоры;

К = 2.0 МНм/м - коэффициент погонной жесткости упругого защемления.

Граничные условия

а) грань АВ х=0 - упруго защемленный край

прогиб равен нулю W=0,

изгибающий момент Мx пропорционален углу поворота.

Так как положительный угол поворота (по часовой стрелке), при упругой заделке левого края приводит к растяжению верхнего волокна (отрицательный изгибающий момент), то граничное условие запишется в виде:

;

б) грань CD x = a - упруго опертый край

изгибающий момент Мx равен нулю - Мx =0,

обобщенная поперечная сила пропорциональна прогибу.

Так как положительный прогиб (ось Z направлена вниз) вызывает реакцию (отпор) направленную вверх, которая вращает правую часть пластинки против часовой стрелки (поперечная сила отрицательна), то граничное условие запишется в виде:

.

С учетом формул (1.17), после сокращения на общие множители, получим граничные условия для каждого члена ряда

а) при h =0 (х=0)

б) при =1 (х=а)

Подставляя в граничные условия (2.1) решение для функций (1.15) и группируя члены при неизвестных , получим:

;

;

;

;

.

При , , m = 1, 3, 5 …

Выражения (2.2) составляют систему четырех линейных алгебраических уравнений

(2.3)

где - коэффициенты при неизвестном в уравнении n (n=1,2,3,4) в системе (2.2), Cnm - правая часть n-го уравнения

2.1. Расчет пластинки на микрокалькуляторе

При расчете на микрокалькуляторе в формулах (2.2-2.4) функции , и коэффициенты заменяем на и .

Проведем расчет констант, требующихся при дальнейших вычислениях:

Для определения коэффициентов системы (2.3) . вычислим значения функции при согласно формулам (1.16,б; 1.16,в) и учитывая результаты таблицы 2.1 (см. ниже).