Расчет пластинки на изгиб (стр. 1 )

РАСЧЕТ ПЛАСТИНКИ НА ИЗГИБ

МЕТОДОМ ЛЕВИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ Работы

по курсу

"Теория упругости"

Москва

2006

Утверждено

Редакционно-издательским советом

Российского университета

дружбы народов

Расчет плас­тинки на изгиб методом Леви: Методические рекомендации к выполнению курсовой работы по курсу "Теория упругости" – М.: Изд-во РУДН, 2006г. –48 с.

Методические рекомендации предназначены для выполнения курсовой работы и самостоятельных занятий студентов при изучении разделов 3-й части курса сопротивления материалов "Теория упругости. Изгиб пластин" В рекомендациях излагается ре­шение задачи изгиба прямоугольной пластинки шарнирно опертой по двум противоположным сторонам методом Леви. Приводится пример расчета. В приложении приведены программы на алгоритмических языках Фортран и Паскаль, реализующие алгоритм расчета.

При использовании программы задача студента состоит в формулировке граничных условий опирания пластинки и написании процедуры, реализующей удовлетворение этих условий.

Для студентов 3-го курса специальности "Строительство".

Подготовлено на кафедре сопротивления материалов РУДН.

ã 2006

ã Издательство Российского университета дружбы народов, 2006

Введение

Пластинки, в том числе прямоугольные, являются одним из наиболее распространенных элементов машин, зданий и сооружений. Разработка методов расчета пластин является одной из задач прикладной теории упругости. Точное решение известно лишь для ограниченного числа задач изгиба пластин. К одним из таких методов относится расчет прямоугольных пластинок шарнирно опертых по двум противоположным краям. Метод предложен в 1899 г. францу­зским ученым Леви и носит его имя. Метод основан на применении одинарных тригонометрических рядов и позволяет свести задачу к системе независимых дифференциальных уравнений 4-го порядка, решение которых известно.

Задача изгиба пластин сводится к дифференциальному уравнению прогибов пластинки:

, (1)

где W – прогиб пластинки; – поперечная нагрузка; – изгибная жесткость пластинки; Е – модуль упругости материала пластинки; v – коэффициент Пуассона, h – толщина пластинки;

– бигармонический оператор.

На рис. 1 приведены положительные направления внутренних усилий в сечениях пластинки.

Внутренние усилия определяются через функцию прогибов по формулам:

а) Изгибающие моменты

; ;

б) Крутящий момент

; (2)

в) Поперечные силы

; ;

Здесь - гармонический оператор Лапласа на плоскости.

На свободном краю пластинки поперечные силы Qx и Qy и крутящие моменты Мчн приводятся к обобщенным поперечным силам:

;

. (3)

I. Алгоритм расчета прямоугольной пластинки методом Леви

Рассмотрим прямоугольную пластинку, шарнирно опертую по двум противоположным сторонам (рис.1). Опирание двух других сторон может быть произвольным, но однородным - не меняющимся вдоль каждой из сторон. Пластинка загружена, в общем случае, произвольной поперечной нагрузкой .

Рис. 2. Пластинка, шарнирно опертая по двум противоположным краям

 

На шарнирно опертых краях AD и ВС прогибы W и изгибающие моменты My равны нулю, т. е. получим граничные условия:

при у = 0 и у = b W = 0 и My = 0. (1.1)

Учитывая формулу (2) для изгибающего момента My , получим граничное условие в виде:

при у = 0 и у = b ,

но так как W(x,0) = W(x,b) = 0, то любая производная по х равна нулю и, следовательно,

.

Поэтому окончательно граничные условия на сторонах AD и ВС запишутся в виде:

при у = 0 и у = b . (1.2)

Прежде чем рассмотреть ход дальнейшего решения задачи, проведем замену переменных, перейдя к безразмерным координатам

, , . (i.3)

Очевидно, область изменения безразмерных координат определяется выражениями:

Дифференцируя выражения (1.3) по х и у , получим

; ,

и для последующих производных

; . (1.4)

Оператор Лапласа и бигармонический оператор в безразмерных координатах принимают вид

; ; ;

. (1.5)

Внутренние усилия определяются по формулам:

; ;

;

; ; (1.6)

;

.

Уравнение равновесия пластинки в безразмерных координатах запишется в виде:

. (1.7)

Решение дифференциального уравнения (1.7), с граничными условиями (1.2) принимаем в виде:

; (1.8)

где X(x) - функция распределения прогиба вдоль оси х, q0 - произвольное значение нагрузки (при q=const, q0=q), С – произвольная константа, назначаемая для удобства записи решения.

Легко проверить, что решение (1.7) удовлетворяет граничным условиям (1.2) на краях AD, ВС - h = 0, h = 1, (y = 0, y = b).

Подставляя решение (1.8) в уравнение (1.7), получим

(1.9)

Умножим уравнение (1.9) на и проинтегрируем по h в пределах от 0 до 1. Тогда учитывая формулы:

при m = n имеем:

В результате интегрирования уравнения (1.9)

(1.10)

где .

При имеем:

Таким образом, функция распределения прогибов Хm(x) должна быть решением дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1.10) и удовлетворять граничным условиям на краях АC - x = 0 (х=0) и BD - x =1 (х = а).