Расчет пластинки на изгиб (стр. 4 )

Аналогично можно провести вычисления для последующих членов ряда m = 2,3,… Однако вычисления довольно трудоемки. Кроме того, при последующих вычислениях функции быстро возрастают и их значения сближаются, поэтому для обеспечения точности требуется проводить вычисления с большим числом значащих цифр, что значительно повышает трудоемкость вычислений. Поэтому целесообразно расчет проводить с применением вычислительной техники. Разработка программы по описанному выше алгоритму не представляет особой трудности. Программа расчета может быть разработана с использованием на алгоритмических языков – Фортран, Паскаль и др. Могут такэе использоваться программные комплексы – MathCAD, MathLab и др.

В приложении приведена программа расчета прямоугольных пластинок с двумя параллельными шарнирно опертыми краями в среде MathCAD.

3. Расчет пластики методом Леви с применением ЭВМ

При разработке программы на ЭВМ в среде MathCAD можно использовать любую форму решения (1.13) или (1.13,а). При расчете в системе MathCAD удобно использовать векторные и матричные формы записи решения.

При расчете по формулам (1.13) имеем

, (3.1)

где ; . (3.2)

При q = const

Дифференцируя решение (3.1) по x, получим

, (3.3)

где . (3.4)

При расчете по формулам (1.13,а) получим:

, (3.5)

где ; . (3.6)

Дифференцируя решение (3.1) по x, получим

. (3.7)

. (3.8)

Введем матрицу . (3.9)

Тогда формулу (3.8) можно записать в виде

. (3.10)

Учитывая, что компоненты матрицы константы, получим при последующем дифференцировании:

. . (3.11)

При этом нетрудно показать, что

(3.12)

В правильности формул (3.12) можно убедиться, умножая матрицы на вектор-функцию для нечетных и четных производных и сравнивая полученный результат с формулами (1.16,б).

Константы определяются из решения системы четырех алгебраических уравнений вида (2.3), удовлетворяющей граничным условиям на краях АВ и CD .

После определения констант, перемещения и внутренние усилия в сечениях пластинки определяются по формулам (1.7,1.17).

;

;

;

; (3.3)

;

;

;

.

При .

Из формул (3.1,3.2,3.3) видно, результаты расчета зависят только от констант и функции , то есть от граничных ус­ловий и вида нагрузки, при этом алгоритм расчета перемещений и внутренних усилий не меняется. Это позволяет разработать общую программу расчета, в которой в зависимости от граничных условий (q=const) можно менять только блок формирования системы гранич­ных условий на краях АВ и CD и формулу вычисления частного решения . Формулировка граничных условий согласно варианта задания и разработка блока программы, реализующего их выполнение входит в задачу студента.

3.1. Программа расчета пластинки методом Леви в системе MathCAD

В приложении приведена программа расчета пластинки, шарнирно опертой подвум противоположным сторонам в среде системы MathCAD, реализующая описанный выше алгоритм. Основной блок программы во всех расчетах остается неизменным. Эадача студента заключается в формулировке граничных условий своего варанта задания в соответствии с приложением II и записи блока программы, реализующего граничные условия.

Рассмотрим прямоуголную пластинку, приведенную в разделе 2. Края АВ и ВС шарнирно оперты, край АС упруго защемлен, край СD упруго оперт. На пластинку действует равномерно распределенная нагрузка . Тогда граничные условия запишутся в виде:

;

;

; (3.1.1)

;

, m = 1, 3, 5…

Так как в программе удобнее организовывать цикл с шагом равным 1, то полжив , приходим к системе (3.1.1), заменяя индекс m на и положив ; ,

Аналогичные замены призводятся и в фомулах внутренних усилий (3.3).

Впорочем, после указанной замены в уравнениях граничных условий и вычисления внутренних усилий т на , на и на в программе можно использовать игндекс т, организуюя цикл с шагом 1.

Расчет проводится с 3-мя членами ряда - М = 3 .

Результаты расчета оформляются в виде таблиц, в которых отражаются результаты расчета для каждого члена ряда и суммарные результаты расчета 1-г, 2-го и 3-го приближенй. По резултатам расчета можно судить о сходимости расчета с различным числом членов ряда и вкладе каждого члена ряда в конечный результат. По результатам расчета строятся графики прогобов W и изгибающих моментов Мх и Мх в средних сечениях пластинки - x = 0,5 (х = а/2) и h = 0,5 (у = b/2) . Для печати таблиц расчет проводится с шагом 1/8, 1/10. Для вывода на печать эпюр прогибов и моментов расчет проводится с шагом 1/50. При этом графики эпюр получаются гладкими. При шаге 1/8, 1/10 графики эпюр получаются ломаными.

3.2.  Тестовый пример

После создания любой программы требуется убедиться, что она работает правильно, что в ней нет как алгоритмических, так и случайных ошибок, появившихся при введении программы в компьютер. Для этого проводятся тестовые расчеты примеров, результаты которых известны.

При разработке сложных программных комплексов предусматривается система тестов для проверки всех ветвей программы. Для более простых программ бывает достаточно просчета одного двух примеров. Основные блоки программы отлажены и проверены, и правильность их работы гарантирована, если в них не вносились изменения. Для проверки правильности набора программы и разрабатываемой пользователем процедуры предлагаются тестовые расчеты для различных вариантов опирания краев АВ и CD , согласно заданию на выполнение курсовой работы. Все тестовые расчеты выполняются с условными общими для всех вариантов исходными данными. Все варианты были предварительно просчитаны. Результаты расчетов тестовых примеров приведены в таблице 3.1.