Тема: Отличия динамического моделирования равновесных экономических процессов от статического (стр. 2 )

(a) Предположим, разброс колебаний спроса невелик: а = 2. Найдите долгосрочное конку­рентное отраслевое равновесие, характеризующееся последовательностью цен {pt}, на которую ориентируется каждый участник рынка, принимая решение об инвестициях, а таже последователь­ностями объёмов отраслевой добычи {Qt} и капитальных вложений {Kt}.

(b) Найдите долгосрочное конкурентное отраслевое равновесие в случае, когда разброс колебаний спроса значителен: a = 10.

РЕШЕНИЕ

(a) При решении задач подобного рода вначале требуется определить качественный вид равновесия. Разумно ожидать, что равновесная цена колеблется вслед за спросом, принимая в чётные годы низкое значение pL, а в нечётные – высокое значение pH. Двухлетний цикл спроса в сочетании с пятилетним инвестиционным лагом в принципе (при достаточно больших значениях а) способны привести к тому, что инвестиции в отрасль будет выгодно осуществлять только в чётные годы, а в нечётные годы равновесная инвестиционная активность окажется нулевой. Однако кажется разумным предположить, что при небольших значениях а (в частности, и при а = 2) инвестиции в состоянии долгосрочного равновесия осуществляются как в чётные, так и в нечётные годы. Рассмотрим именно этот последний случай в качестве первого кандидата на долгосрочное равновесие. Предприниматель, инвестирующий в каком-либо чётном году, учитывает 5-летний инвестиционный лаг и пони­мает, что начало добычи по его проекту придётся на нечётный год, когда спрос будет высоким. Поэтому условие нулевой прибыли для инвестиций, осуществляемых в чётном году, имеет вид:

,

откуда получаем

,

где q = 1/[(1 + i)(1 + d)] – фактор дисконта времени, учитывающий одновременно и ставку процента, и темп падения добычи.

Предприниматель, инвестирующий в некотором нечётном году, также учитывает 5-летний инвестицион­ный лаг. Он понимает, что начало добычи по его проекту придётся на чётный год, когда спрос будет низким. Следовательно, условие нулевой прибыли для инвестиций, осуществляемых в нечётном году, имеет вид:

,

откуда получаем

.

Поскольку q ≠ 1, одновременное выполнение полученных выше условий нулевой отдачи на инвестиции в чётные и нечётные годы возможно только в случае, когда pL = pH. Таким образом, при небольших колебаниях спроса и ненулевых ежегодных инвестициях равновесная цена всё время остаётся одной и той же, несмотря на колебания спроса, а условия нулевой прибыли инвесторов сводятся к полученной в Задаче 15 формуле для единой равновесной цены p*:

.

Зная p*, получим из уравнений спроса равновесные объёмы производства QH и QL:

;

.

Равновесные объёмы ежегодных капиталовложений KH и KL определим из условия, связы­вающего текущий объём добычи со всеми предыдущими капитальными вложениями. Объёмы добычи в нечётные годы (годы высокого спроса) определяются всей предыдущей последовательностью капитальных вложений:

,

то есть

.

Объёмы добычи в чётные годы (годы низкого спроса) также определяются всей предыдущей последовательностью капитальных вложений:

,

то есть

.

Теперь можно получить выражения для KH и KL в явном виде:

;

.

Найденные равновесные значения переменных сведём в таблицу:

Параметры и показатели рынка	Нечётные годы	Чётные годы
Краткосрочная кривая спроса	pt = 102 – Qt	pt = 98 – Qt
Текущая цена = p*	6,425	6,425
Текущая добыча = Q*	95,575	91,575
Капитальные затраты (CAPEX) = K*	62,516	164,333
Текущая выручка p*Q* =	614,06	588,36
Текущие затраты (OPEX) = cQ* =	191,15	183,15
Текущая прибыль = p*Q* – cQ*	422,91	405,21
Текущая полная прибыль = p*Q* – cQ* – K*	360,40	240,88
Текущая рентабельность = [p*Q* – cQ*]/(cQ*)	221,25%	221,25%
Текущая полная рентабельность = [p*Q* – cQ**– K*]/(K* + cQ*)	142,08%	69,32%

Как видим, долгосрочное динамическое равновесие в данном случае характеризуется значи­тельными периодическими колебаниями объёмов производства и капитальных вложений, несмотря на неизменность цены. При этом показатель полной текущей рентабельности принимает низкое значение 69% в чётные годы (за счёт низкого спроса и масштабных капитальных вложений) и высокое значение 142% в нечётные годы (за счёт высокого спроса и небольших капитальных вложений). Заметим, что никакое искусственное выравнивание рентабель­ности в чётные и нечётные годы путём проведения какой-либо государственной политики не может в данном случае привести к повышению экономической эффективности, поскольку соответствующее условиям совершенной конкуренции распреде­ление ресурсов во времени уже является максимально эффективным (как гласит Первая теорема экономической теории благосостояния).

(b) В случае, когда разброс колебаний спроса значителен (a = 10), можно ожидать, что капитальные вложения будет выгодно осуществлять только в чётные годы, а в нечётные годы равновесная инвестиционная активность окажется нулевой. При этом равновесная цена станет колебаться вслед за спросом, принимая в чётные годы низкое значение pL, а в нечётные – высокое значение pH.

Предприниматель, инвести­рующий в чётном году, понимает, что начало добычи придётся на нечётный год, когда спрос велик, ведь инвестиционный лаг составляет 5 лет. Условие нулевой прибыли для инвестора, вкладывающего дополнительную единицу денежных средств в чётном году, имеет вид:

,

где q = 1/[(1 + i)(1 + d)].

Предприниматель, обдумывающий возможность инвестиций в нечётном году, понимает, что начало добычи придётся на чётный год, когда спрос будет слишком низким, и инвестиции не окупятся. Поэтому в нечётные годы инвестиции равны нулю. Следовательно, объём добычи в чётном году QL связан с объёмом добычи в нечётном году QH следующим инерционным соотношением, учитывающим естественное снижение добычи:

.

Если добавить к полученным условиям два уравнения, описывающие краткосрочное равно­весие на рынке:

,

,

то получим четыре уравнения, из которых можно найти равновесные значения

pL = 0,335, pH = 11,368, QH = 98,63 и QL = 89,67.

Эти значения приходится искать в численном виде с помощью компьютера, так как явного аналитического решения у полученной равновесной системы уравнений нет. Заметим, что равновесное значение цены в чётные годы оказалось очень низким, не покрывающим даже текущих издержек производства. Тем не менее, инерционность инвестиционного процесса заставляет производителя терпеть краткосрочные убытки, производя слишком много продукции в чётные годы, ради того чтобы обеспечить достаточно высокий уровень выпуска в нечётные годы.

Осталось определить равновесные объёмы ежегодных капитальных вложений KH и KL. По предположению, KH = 0. Следовательно,

.

Найденные равновесные значения переменных сведём в таблицу:

Параметры и показатели рынка	Нечётные годы	Чётные годы
Краткосрочная кривая спроса	pt = 110 – Qt	pt = 90 – Qt
Текущая цена = p*	11,368	0,335
Текущая добыча = Q*	98,63	89,67
Капитальные затраты (CAPEX) = K*	0	228,24
Текущая выручка p*Q* =	1121,27	30,01
Текущие затраты (OPEX) = cQ* =	197,26	179,33
Текущая прибыль = p*Q* – cQ*	924,01	-149,32
Текущая полная прибыль = p*Q* – cQ* – K*	924,01	-377,56
Текущая рентабельность = [p*Q* – cQ*]/(cQ*)	468,41%	-83,26%
Текущая полная рентабельность = [p*Q* – cQ**– K*]/(K* + cQ*)	468,41%	-92,64%

Как видим, при достаточно больших колебаниях спроса долгосрочное динамическое конку­рентное равновесие характеризуется прерывистым характером инвестици­онного процесса. Показатель полной текущей рентабельности потому принимает в чётные годы отрицательное значение (–93%) (за счёт низкого спроса, убыточного производства и высоких капиталь­ных вложений), а в нечётные годы – заоблачно высокое значение 468% (за счёт высокого спроса и низких капитальных вложений).