Тема: Отличия динамического моделирования равновесных экономических процессов от статического (стр. 3 )

№3. Долгосрочное равновесие в конкурентной отрасли при циклическом характере изменений спроса

Снова рассмотрим детерминистскую динамическую модель долгосрочного равновесия в конкурентной отрасли, описанную в Задачах 15 и 16. Примем длительность инвестиционного лага равной t = 5. Темп естественного падения добычи примем равным d = 0,10, а пиковый начальный уровень добычи – равным q0 = 0,075 (дополнительных единиц продукции в год на 1 доп. у. е. инвестиций, иначе говоря, капиталоемкость дополнительной единицы начальной добычи равна 1/q0 = 1/0,075 = 13,33 у. е.). Текущие издержки равны с = 2 (у. е./ед. выпуска). Норма дисконта времени задана равной i = 0,12.

Ради упрощения поиска равновесия снова предположим, что уже установленные добывающие мощности очень трудно отключить (т. е. издержки временного прекращения добычи запретительно велики, и кратковременное снижение цены ниже текущих издержек не может привести к отключению части действующих мощностей).

Рассмотрим детерминистский спрос, динамика которого описывается следующим четырёх­летним циклом.

pt = 110 – Qt,

pt + 1 = 100 – Qt + 1,

pt + 2 = 90 – Qt + 2,

pt + 3 = 100 – Q t + 3,

pt + 4 = 110 – Qt + 4, и т. д.

Найдите долгосрочное конкурентное отраслевое равновесие, характеризующееся последова­тельностью цен {pt}, на которую ориентируется каждый участник рынка, принимая решение об инвестициях, а таже последовательностями объёмов отраслевой добычи {Qt} и капиталь­ных вложений {Kt}.

РЕШЕНИЕ

(a) При решении задач подобного рода вначале требуется определить качественный вид рав­новесия. Разумно ожидать, что все четыре года цикла характеризуются различными равно­весными значениями как объёмов выпуска, так и цен.

Обозначим индексом H равновесные значения переменных в годы высокого спроса, индексом M_down – равновесные значения переменных в годы среднего спроса при его понижательной тенденции, индексом L – равновесные значения переменных в годы низкого спроса, и индексом M_up – равновесные значения переменных в годы среднего спроса при его повышательной тенденции. При описании равновесия будем исходить из того, что инвестиции осуществляются только в годы L и M_up, а ввод новых мощностей, соот­ветственно, имеет место лишь в годы M_up и H (определить предварительный общий вид равновесия можно, задав на компьютере задачу максимизации суммарного дисконтиро­ванного чистого потребительского излишка путем выбора переменных Kt для достаточно протяжённого горизонта времени, скажем, 100 лет. Компьютерному алгоритму, скорее всего, не удастся сразу найти оптимальную траекторию инвестиций, но её примерный вид он покажет).

Условие нулевой отдачи от инвестиций, осуществлённых в году L, выглядит следующим образом:

,

где q = 1/[(1 + i)(1 + d)].

Условие нулевой отдачи от инвестиций, осуществлённых в году M_up, имеет вид:

.

Поскольку ввода новых мощностей в годах M_down и L не наблюдается, соответствующие равновесные объёмы выпуска определяются технологичес­кими зависимостями

; .

Используя соответствующие краткосрочные равенства спроса и предложения на рынке, эти два уравнения можно преобразовать к виду:

;

.

В итоге имеем четыре уравнения, связывающие искомые равновесные значения цены. Находим эти значения путём численного подбора на компьютере:

pH = 7,217; pM_down = 6,561; pL = 5,055; pM_up = 6,425.

Соответствующие равновесные значения объёмов выпуска и инвестиций равны

QH = 102,78; QM_down = 93,44; QL = 84,94; QM_up = 93,58;

KH = 0,0; KM_down = 0,0; KL = 218,03; KM_up = 236,20.

Найденные равновесные значения переменных сведём в таблицу:

Параметры и показатели	Год H	Год M_down	Год L	Год M_up
Краткоср. кривая спроса	pH = 110 – QH	pM_down = 100 – QM_down	pL = 90 – QL	pM_up = 100 – QM_up
Текущая цена	7,217	6,561	5,055	6,425
Текущая добыча	102,78	93,44	84,94	93,58
Капитальные затраты	0,0	0,0	218,03	236,20
Текущая выручка	741,78	613,04	429,42	601,21
Текущие затраты	205,57	186,88	169,89	187,15
Текущая прибыль	536,22	426,16	259,53	414,06
Текущая полная прибыль	536,22	426,16	41,50	177,87
Текущая рентабельность	260,85%	228,04%	152,76%	221,25%
Текущая полная рент-сть	260,85%	228,04%	10,70%	42,01%

Важной особенностью полученного динамического равновесия является так называемый гистерезис, то есть ситуация, при которой состояние системы определяется не только текущими значениями её параметров, но ещё и историей прихода системы к данному состоянию. В данном случае гистерезис проявляется в том, что параметры текущего спроса и предложения в годы, обозначенные индексами M_up и M_down, абсолютно одинаковы. Тем не менее, в долгосрочном динамическом равновесии все экономические показатели, соответ­ствующие этим годам, различны. Гистерезис – это очень важный феномен, имеющий исклю­чительно динамическую природу, его нельзя продемонстрировать в рамках статической модели.

№4. Долгосрочная равновесная динамика извлекаемых запасов полезного ископаемого

Допустим, описанная выше «отрасль, связанная с недро­пользованием», – это нефтедобыча. На основе материалов Задач 15-17 рассчитайте динамику показателей «извлекаемые запасы» и «соотношение запасы/добыча» для каждого из описанных рынков.

РЕШЕНИЕ

(а) Случай стабильного спроса pt = 100 – Qt; q0 = 0,075; d = 0,10; с = 2; временной лаг равен t = 3.

Зафиксируем какой-либо период времени t0. Допустим, начиная с этого периода инвестиции в добычу прекращаются. Тогда текущая добыча будет в течение ещё двух периодов (вспомните: длительность инвестиционного лага равна t = 3!) поддерживаться на стабильном уровне за счёт капиталовложений, осуществлённых ранее. Начиная с периода t0 + 3, начнут проявляться последствия недовинвестиций и добыча будет снижаться с естественным темпом d. Таким образом, экономика может рассчитывать на следующий объём оставшейся суммарной добычи:

;

.

Это и есть текущая величина извлекаемых запасов

Следовательно, равновесное значение показателя «соотношение запасы/добыча» равно

.

(b) Случай стабильного спроса pt = 100 – Qt; q0 = 0,150; d = 0,10; с = 3; временной лаг равен t = 1.

Текущая величина извлекаемых запасов равна

Следовательно, равновесное значение показателя «соотношение запасы/добыча» равно

.

(с) Случай нестабильного спроса pt = 102 – Qt; pt+1 = 98 – Qt; q0 = 0,075; d = 0,10; с = 2; t = 5.

В результате решения задачи №16 мы получили следующие равновесные траектории капиталовложений и добычи:

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Kt	164,3	62,5	164,3	62,5	164,3	62,5	164,3	62,5	164,3	62,5	164,3	62,5	164,3
Qt	91,6	95,6	91,6	95,5	91,6	95,6	91,6	95,5	91,6	95,6	91,6	95,5	91,6

Выберем какой-либо период времени (скажем, t = 1) с высокой добычей Q1 = 95,6. Допустим, начиная с этого периода инвестиции в добычу прекращаются. Тогда текущая добыча будет в течение ещё четырёх периодов (вспомните: длительность инвестиционного лага равна t = 5!) удерживаться на начальной траектории за счёт капиталовложений, осуществлённых ранее. Начиная с периода t = 6, начнут проявляться последствия недовинвестиций и добыча будет снижаться с естественным темпом d. Таким образом, траектория добычи примет вид: