Интерполяционную функцию 
будем искать в виде многочлена 
, где
. (13)
Многочлен 
имеет (n+1) коэффициентов 
. На основании (12) получаем, что:
(14)
(n+1)-условий (14), налагаемых на многочлен , приводят к системе (n+1) линейных уравнений:
(15)
Решая систему (15), найдем значения коэффициентов многочлена , подставим эти значения в (13) и получим аналитическое выражение многочлена. Далее вычислим 
и найдем значение 
.
Описанный прием теоретически применим для решения задач интерполирования многочленом, но практически оказывается значительно трудоемким. Во избежание этого недостатка на практике используют более удобные для применения способы построения интерполяционных многочленов. Одним из таких способов является построение интерполяционного многочлена Лагранжа.
Построим интерполяционный многочлен 
степени не больше n, для которого выполняются условия (14). Этот многочлен будем искать в виде:
, (16)
где 
- многочлен степени n такой, что:
(17)
Многочлены 
составим так:
. (18)
Коэффициенты 
найдем, используя условие (17). Для этого в (18) подставим значения 
и получим:
. (19)
Значения из (19) подставим в (18):
. (20)
На основании (16) с учетом (20) находим интерполяционный многочлен
. (21)
Выражения
называют коэффициентами Лагранжа. В этих обозначениях на основании представления (21) имеем:
.
Если 
, то узлы интерполяции 
называют равноотстоящими. В случае равноотстоящих узлов значения коэффициентов 
Лагранжа можно взять из специальных таблиц, что существенно облегчает процесс вычисления.
Для упрощения вычислений с использованием формулы (21) рекомендуется применять специальную вычислительную схему, представленную в последующей таблице. В этой таблице - узлы интерполяции, 
- то значение аргумента, для которого нужно найти значение многочлена Лагранжа. Для каждого заданного значения составляется новая таблица.
-произведение элементов 
-й строки таблицы, 
|
|
|
|
|
| … |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
| … |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
| … |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
| … |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
| … |
|
|
|
|
… | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
n |
|
|
|
|
| … |
|
|
|
|
|
Преобразуем интерполяционный многочлен Лагранжа (21):
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
