Вычислительная математика. Типовой расчет (стр. 4 )

. (22)

Обозначим - произведение диагональных разностей таблицы (произведение элементов главной диагонали). Тогда представление (22) принимает вид

, (23)

где S- сумма элементов последнего столбца таблицы.

Замечание. Остаточный член формулы Лагранжа (21) имеет вид:

,

где с - некоторая точка, и . Абсолютная погрешность приближенного равенства (точного равенства в узлах интерполяции) не превосходит величины .

Пример 3. Функция задана таблицей. С помощью интерполяционного многочлена Лагранжа с точностью до 10-5 вычислить значение в точке .

	0.05	0.10	0.17	0.25	0.30	0.36
	0.050042	0.100335	0.171657	0.255342	0.309336	0.376403

Решение. Составим расчетную таблицу в соответствии с приведенной выше схемой:

	0.263	0.05	0.10	0.17	0.25	0.30	0.36
0	0.05	0.213	-0.05	-0.12	-0.20	-0.25	-0.31	-0.19809×10-4	0.050042	-2526.2
1	0.10	0.05	0.163	-0.07	-0.15	-0.20	-0.26	0.44499×10-5	0.100335	25547.7
2	0.17	0.12	0.07	0.093	-0.08	-0.13	-0.19	-0.154365×10-5	0.171657	-111202.0
3	0.25	0.20	0.15	0.08	0.013	-0.05	-0.11	-0.1716×10-6	0.255342	1488007.0
4	0.30	0.25	0.20	0.13	0.05	-0.037	-0.06	0.7215×10-6	0.309336	428740.0
5	0.36	0.31	0.26	0.19	0.11	0.06	-0.097	-0.980402×10-6	0.376403	-38392.7

В соответствии с формулой (23) имеем:

Следовательно, с точностью до 10-5 получаем:

.

Ответ: 0.26968.

4 Приближенные вычисления значений функции

с помощью степенных рядов

Предположим, что функция является суммой своего ряда Маклорена:

(24)

или

Положим

(25)

где - остаток степенного ряда (24). Тогда

.

В приближенных вычислениях значений функции полагают

(26)

Абсолютная погрешность приближенного равенства (26) не превосходит . Если требуется вычислить значение функции с точностью то , то в (26) число подбирают так, чтобы выполнялась оценка .

Для оценки используют различные приемы. В частности, если ряд в правой части (25) является знакочередующимся и удовлетворяющим условиям Лейбница, то его сумма по абсолютной величине меньше модуля первого отброшенного члена:

.

Замечание. Условия Лейбница для числового знакочередующегося ряда

, (27)

, имеют вид:

начиная с некоторого . (28)

При выполнении условий (28) ряд (27) сходится. Остаток ряда (27)

удовлетворяет условию

. (29)

Пример 4. Методом разложения функции в степенной ряд вычислить ее значения с точностью до 0.0001 при заданных значениях аргумента.

a) ,

Решение. Разложение функции в степенной ряд Маклорена при имеет вид:

(30)

В (30) заменим на :

При получаем:

(31)

Полагаем

, (32)

Числовой ряд (31) удовлетворяет условиям Лейбница:

,

.

Поэтому применима оценка (29):

. (33)

В соответствии с поставленной задачей подбираем число так, чтобы выполнялось неравенство:

. (34)

На основании (33) и (34) заключаем, что должно быть , то есть требуемая точность будет достигнута.

При из (34) имеем: .

Если , то .