Вычислительная математика. Типовой расчет (стр. 1 )

РОСЖЕЛДОР

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения

Министерства путей сообщения Российской Федерации»

(РГУПС)

, ,

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Методические указания

для студентов специальностей АИ, АВМ

Ростов-на-Дону

2005

УДК 512.2 (075.6)

Багрова, В. Н. и др.

Вычислительная математика. Типовой расчет: методические указания для студентов специальностей АИ, АВМ / , , ; Рост. гос. ун-т путей сообщения,- Ростов н/Д, 2005.-24 с.

Методические указания содержат необходимые теоретические сведения и подробные решения типовых задач. Одобрены к изданию кафедрой «Высшая математика – I» РГУПС.

Рецензент: канд. техн. наук, доц. (РГУПС)

КОЛТУН Ирина Александровна СТАДНИК Людмила Николаевна

Вычислительная математика. Типовой расчет: «Методические указания для студентов специальностей АИ, АВМ»

Редактор

Техническое редактирование и корректура

Подписано к печати 03.06.05. Формат 60х84/16.

Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,4.

Уч.-изд. л. 1,33. Тираж 100 экз. Изд № 000. Заказ № .

Цена договорная.

Ростовский государственный университет путей сообщения.

Ризография РГУПС.

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного ополчения, 2

© Ростовский государственный университет путей сообщения, 2005

содержание

1. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера

2. Схема Гаусса с выбором главного элемента

3. Интерполирование функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа

4. Приближенные вычисления значений функции с помощью степенных рядов

Рекомендуемая литература

1 Вычисление значений многочлена. Схема Горнера

Рассмотрим многочлен степени n:

с действительными коэффициентами . Вычислим значение многочлена при , то есть найдем

. (1)

Выражение (1) последовательно преобразуем следующим образом:

;

;

;

. (2)

Положим:

. (3)

Тогда на основании представления (2) получаем, что . Числа в (3) удобно находить, используя схему Горнера:

Пример 1. Используя схему Горнера, составить таблицу значений многочлена на отрезке [0.15;0.25] с шагом h=0.02. Вычисления вести с четырьмя значащими цифрами. Окончательные результаты округлить до 0.001.

Решение. Согласно условию нужно вычислить значения многочлена при следующих значениях х: 0.15; 0.17; 0.19; 0.21; 0.23; 0.25. Воспользуемся схемой Горнера.

1) х=0.15.

В проделанных вычислениях

2) х=0.17.

3) х=0.19.

4) х=0.21.

5) х=0.23.

6) х=0.25.

Составим таблицу значений многочлена, округлив результаты до 0.001, и запишем ее в ответ.

Ответ:	х	0.15	0.17	0.19	0.21	0.23	0.25
		-0.287	-0.234	-0.173	-0.102	-0.021	0.071

2 Схема Гаусса с выбором главного элемента

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

. (4)

Для решения этой системы составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных.

.

К матрице А присоединим столбец свободных членов и получим так называемую расширенную матрицу B размерности n´(n+1):

.

Все дальнейшие действия обозначим как прямой и обратный ход.

Прямой ход

Среди элементов основной матрицы А выберем наибольший по модулю и назовем его главным элементом. Предположим, что главным элементом является - элемент, стоящий в р-й строке (назовем эту строку главной) и q-м (главном) столбце . Для всех вычислим множители .

Теперь произведем следующие преобразования матрицы B: из элементов каждой -й неглавной строки вычтем соответствующие элементы главной строки, умноженные на . После этих преобразований получится матрица, в которой все элементы главного -го столбца, кроме , равны нулю. Отбросим главную строку и главный столбец и получим новую матрицу B1 размерности (n-1)´n. К матрице B1 применим те же преобразования, что и к матрице B, и получим матрицу B2 размерности (n-2)´(n-1). Процесс описанных преобразований продолжается до тех пор, пока не получится матрица, содержащая одну главную строку с двумя элементами. Завершив преобразования матриц, следует объединить все главные строки, начиная с последней. После определенной перестановки главных строк получим треугольную матрицу, эквивалентную исходной матрице B.

Обратный ход

По полученной треугольной матрице восстановим систему уравнений и решим ее, последовательно находя значения неизвестных .

Замечания

1. При решении последующего примера предложена компактная схема записи результатов вычислений – в виде таблицы. В этой таблице добавлен контрольный столбец (S), каждый элемент которого равен и остается равен при проводимых преобразованиях сумме элементов соответствующей строки матрицы Bk, .

2. Суть метода Гаусса c выбором главного элемента состоит в том, чтобы по возможности уменьшить числа и тем самым увеличить точность приближенных вычислений.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, проведя все вычисления с пятью значащими цифрами. Окончательные результаты округлить до 0.0001.

. (5)

Решение

Схема Гаусса с выбором главного элемента

Этап	i							(S)
I	1 2 3 4	0.11758 0.14773 0.17929	0.5581 0.0791 0.0984 0.1184	0.0627 0.5838 0.1036 0.1236	0.0699 0.0884 0.6084 0.1284	0.0745 0.0936 0.1136 0.6336	0.7736 0.8236 0.8736 0.9236	1.5388 1.6685 1.7976 1.9276
II	1 2 3	0.09361 0.11861	0.54418 0.06161 0.07717	0.04817 0.56554 0.08144	0.05480 0.06943 0.58538		0.66500 0.68716 0.70801	1.31215 1.38374 1.45200
III	1 2	0.07295	0.53696 0.05246	0.04055 0.55588			0.59872 0.60318	1.17623 1.21152
IV	1		0.53313				0.55472	1.08785
V	1 2 3 4		1	1	1	1	1.040497 0.986896 0.93502 0.88127	2.040497 1.986896 1.93502 1.88127

Прямой ход