Курс «Высшая математика» для потоков ЯПП, ГЗТС (стр. 1 )

КУРС «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

для потоков ЯПП, ГЗТС

Студенты заочного факультет для сдачи тестирования по курсу «Высшая математика» должны знать и уметь:

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости, векторы и матрицы

1. Определять местоположение точки в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости.

2. Определять координаты середины отрезка, если известны координаты его концов.

3. Для прямой, заданной уравнением: устанавливать, является ли данная точка точкой прямой; находить точки пересечения прямой с координатными осями; определять нормальный вектор прямой; определять угловой коэффициент прямой.

3. Находить угловой коэффициент прямой параллельной (перпендикулярной) данной прямой.

4. Находить точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями.

5. Находить расстояние от данной точки до данной прямой, заданной уравнением.

6. Находить тангенс угла между двумя прямыми, заданными уравнениями.

7. Составлять уравнение прямой: по заданному угловому коэффициенту и проходящей через данную точку; проходящей через две заданные точки; в отрезках по осям Ox и Oy.

8. Приводить уравнение прямой: к общему виду, к уравнению с угловым коэффициентом.

9. По каноническому уравнению окружности находить ее центр и радиус.

10. По каноническому уравнению эллипса находить его большую и малую полуоси.

11. По каноническому уравнению параболы находить значение параметра p.

12. Для двух векторов одинаковой размерности, заданных координатами, находить: длины каждого из них; координаты их суммы; координаты их разности; скалярное произведение.

13. Для вектора, заданного координатами, находить его произведение на данное число.

14. Находить координаты вектора, если известны координаты его начала и конца.

15. Определять значение элемента данной матрицы по известным индексам этого элемента (номеру строки и номеру столбца).

16. Определять элементы главной диагонали, побочной диагонали данной квадратной матрицы.

17. Для данных матриц находить: их сумму, если она существует; их разность, если она существует; их произведение, если оно существует.

18. Для данной матрицы находить: произведение ее на данное число; транспонированную матрицу.

19. Вычислять определители квадратных матриц первого, второго, третьего порядков.

20. Знать и использовать при вычислении определителей свойства определителей квадратных матриц.

21. Находить минор заданного элемента определителя данной матрицы.

22. Находить алгебраическое дополнение заданного элемента определителя данной матрицы.

23. Находить матрицу обратную к данной матрице.

Тема 2. Линейные операторы и квадратичные формы, элементы аналитической

геометрии в пространстве, системы линейных уравнений и неравенств

1. Определять, какая из данных функций является квадратичной формой.

2. Применять необходимое и достаточное условие для проверки, что данная система n-мерных векторов образует базис пространства Rn.

3. Находить разложение вектора по данной системе векторов.

4. Для данной плоскости, заданной уравнением, определять: проходит ли плоскость через данную точку; нормальный вектор плоскости.

5. Составлять уравнение плоскости: проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; проходящей через три данные точки.

6. Находить косинус угла между двумя плоскостями, заданными уравнениями.

7. Находить направляющий вектор прямой, заданной каноническими уравнениями.

8. Находить косинус угла между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями.

9. Определять, какая из предложенных упорядоченных совокупностей действительных чисел является решением данной системы линейных уравнений.

10. Составлять матрицу и расширенную матрицу системы линейных уравнений.

11. Решать систему линейных уравнений по правилу Крамера.

12. Находить решение ступенчатой системы линейных уравнений.

13. Находить область решения системы линейных неравенств с двумя переменными.

Тема 3. Числа и числовые последовательности, числовые ряды

1. Находить члены данной последовательности.

2. Определять формулу общего члена данной последовательности.

3. Определять, какая последовательность является монотонной, ограниченной, неограниченной, сходящейся, убывающей, бесконечно большой.

4. Находить члены числовых рядов.

5. Определять, какой ряд является знакопеременным, знакочередующимся, гармоническим, обобщенно гармоническим.

6. Знать простейшие свойства рядов.

7. Знать определение сходящегося ряда.

8. Знать и уметь применять достаточные признаки сходимости положительных рядов: признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак сходимости.

9. Знать и уметь применять признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

Тема 4. Функции одной переменной, непрерывные функции одной переменной

1. Определять, является ли функцией соответствие, заданное уравнением (или графиком).

2. Находить область определения функции, заданной уравнением.

3. Определять область значений функции, заданной уравнением.

4. Строить график функции с помощью преобразования графика функции .

5. Знать сложные функции, определение, примеры, элементарные функции. Различать сложную функцию от элементарной.

6. Раскрывать неопределенность вида . Знать основные теоремы о пределах функций. Вычислять пределы с применением основных теорем о пределах функций.

7. Знать и применять формулы первого и второго замечательных пределов.

8. Знать теорему о связи существования предела функции и односторонних пределов.

9. Находить бесконечные пределы и пределы на бесконечности. Знать определения бесконечно малой и бесконечно большой функции, связь между ними.

10. Знать определение функции непрерывной в точке.

11. Находить область непрерывности функции.

12. Определять точки разрыва функции. Примеры.

13. Знать теорему о непрерывности сложной функции.

Тема 5. Дифференцирование функции одной переменной

1. Знать определение производной функции в точке.

2. Знать и применять формулы для нахождения производной суммы, разности, произведения, частного двух функций.

3. Находить угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

4. Находить производную сложной функции.

5. Находить дифференциал функции в точке .

Тема 6. Основные теоремы о функции одной переменной, исследование функции с помощью

производной, экстремумы

1. Знать теорему о необходимом условии экстремума функции.

2. Знать правило Лопиталя нахождения пределов.

3. Знать теорему о необходимом и достаточном условии постоянства функции.

4. Уметь находить точки экстремума функции.

5. Знать необходимое и достаточное условия возрастания функции.

6. Знать необходимое и достаточное условия убывания функции.

7. Определять интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз графика функции.

8. Знать необходимое и достаточное условия выпуклости вверх (вниз) графика функции.

9. Определять точки перегиба графика функции.

10. Знать необходимое и достаточное условия перегиба графика функции в точке.

11. Находить вертикальные асимптоты графика.

Тема 7. Функциональные ряды

1. Определять коэффициенты степенного ряда.

2. Находить область сходимости степенного ряда.

3. Находить интервал сходимости степенного ряда.

4. Находить радиус сходимости степенного ряда.

5. Знать определение ряда Тейлора, ряда Маклорена.

Тема 8. Первообразная и неопределенный интеграл, определенный интеграл

1. Знать и применять основные свойства неопределенного интеграла.

2. Определять первообразную, проходящую через заданную точку .

3. Применять таблицу неопределенных интегралов.

4. Проверять результаты интегрирования дифференцированием.

5. Применять формулу замены переменной в неопределенном интеграле.

6. Подносить выражения под знак дифференциала.

7. Применять формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

8. Уметь интегрировать простейшие рациональные дроби.

9. Разлагать правильную рациональную дробь в сумму простейших.

10. Представлять неправильную рациональную дробь в виде суммы целой ее части и правильной рациональной дроби.

11. Интегрировать простейшие иррациональные функции, содержащие корни различной степени от независимой переменной.

12. Интегрировать иррациональные выражения, содержащие корень квадратный от квадратного трехчлена.

13. Применять подстановки для интегрирования рациональных выражений, содержащих тригонометрические функции, в том числе универсальную тригонометрическую подстановку.

14. Интегрировать произведение синусов и косинусов различных аргументов, произведение степеней синуса и косинуса одного аргумента.

15. Применять формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов.

16. Знать и применять основные свойства определенного интеграла.

17. Вычислять площадь простейших геометрических фигур с помощью определенного интеграла.

18. Применять формулу замены переменной в определенном интеграле.

19. Применять формулу интегрирования по частям для определенного интеграла.

20. Применять понятие определенного интеграла для вычисления объема работы.

21. Применять понятие определенного интеграла для вычисления дуг плоских кривых, заданных уравнением в явном виде в декартовой системе координат.

22. Применять формулы вычисления объемов тел вращения, фигур, ограниченных линиями с уравнениями в явном виде в декартовой системе координат.

23. Применять методы прямоугольников, трапеций, Симпсона приближенного вычисления определенных интегралов.