Методы структурного анализа материалов и контроль качества (стр. 3 )

(2)

В рассеянной волне вклад в вектор от узла решетки 0, 0, 0 имеет вид:

(3)

Волна, рассеянная на узле с номерами пройдет другое расстояние, чем волна, рассеянная на узле с номерами 0; 0; 0. Учтем малость размеров кристалла, то есть модуля по сравнению с .

Тогда . Пренебрежем также поглощением волн в кристалле.

Будем считать показатель преломления для рентгеновских лучей равным 1, что выполняется с большой точностью.

Оптическую разность хода между лучами, рассеянными в точках и , тогда можно вычислить по формуле:

(4)

Разность фаз окажется равной:

(5)

Вклад в вектор от узла с номерами примет вид:

(6)

где – вектор рассеяния, имеющий важное значение в теории дифракции, показывающий, насколько изменился волновой вектор волны в результате рассеяния.

Вклад в амплитуду вектора от всех узлов решетки примет вид:

(7)

Суммирование в этой формуле ведется по всем узлам
решетки.

Учитывая, что и, обозначив получим:

(8)

Выражение для представляет произведение трех сумм, первая из которых – сумма первых N членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем

Она равна:

(9)

Аналогичные выражения можно получить и для двух других сумм. Интенсивность I, равная произведению на комплексно сопряженную с ней величину, после преобразований примет вид:

(10)

I максимальна и равна (NMP)2, если одновременно выполняются соотношения:

(11)

где – целые числа. Также интенсивность заметно
отличается от нуля при условии, что величины отличаются от целых чисел не более чем на соответственно.

Соотношения, рассмотренные выше, очень неудобны для анализа, между тем им можно придать очень наглядный, геометрический смысл. Для этого необходимо рассмотреть понятие обратной решетки.

4.2. Обратная решетка

4.2.1 Понятие обратной решетки

Обратная решётка – точечная трёхмерная решётка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины. Обратная решётка (обратное пространство, импульсное пространство) является Фурье-образом прямой кристаллической решётки (прямого пространства).

Каждой кристаллической структуре соответствуют две решётки: кристаллическая решётка и обратная решётка. Можно определить векторы прямой a, b, c и обратной a*, b*, c* решёток. Дифракционная картина представляет собой карту обратной решётки кристалла, так же как микроскопическое изображение представляет собой карту реальной структуры кристалла. Векторы кристаллической решётки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решётки [длина]−1. Кристаллическая решётка – это решётка в обычном, реальном пространстве; обратная решётка – решётка в пространстве Фурье.

4.2.2. Построение обратной решетки

Обратная решетка, соответствующая любой прямой решетке, описывающей реальную структуру кристалла, строится следующим образом:

1. Если обычная прямая решетка построена на векторах трансляций a, b, c, то оси обратной к ней решетки a*, b*, c* определяются как векторные произведения в соответствии с известной из курса математики формулой 12

(12)

2. Осевые параметры обратной решетки a*,b*,c* равны обратным величинам межплоскостных расстояний плоских сеток прямой решетки, нормальных к этой оси.

Т. е. вектор обратной решетки H*hkl нормален к каждой плоскости прямой решетки (hkl), а его длина определяется как величина, обратная межплоскостному расстоянию dhkl.

Решетка с вектором H*hkl, построенная на базисных векторах a*,b*,c* называется обратной решеткой, векторы a*,b*,c* – координатными векторами обратной решетки.

Каждой плоскости (hkl) прямой решетки отвечает в обратной решетке узел HKL*. Бесконечному семейству параллельных плоскостей (hkl) в пространстве прямой решетки соответствует в пространстве обратной решетки бесконечное семейство точек HKL* вдоль направления, нормального к этим плоскостям. Расстояния от этих точек от точки, принятой за начало координат в обратном пространстве, равны 1/d, 2/d, 3/d,…, где d=dhkl – расстояние между плоскостями (hkl) в прямой решетке. Обратная решетка определена в трехмерном обратном пространстве с размерностью «обратных длин».

Зоне плоскостей прямой решетки отвечает сетка из точек (узлов) обратной решетки, причем ось зоны прямой решетки нормальна к плоскости сетки обратной решетки. Прямой пространственной решетке из плоскостей (hkl) отвечает обратная трехмерная решетка из точек HKL*.

Основные векторы a*,b*,c* обратной решетки определяются также скалярными произведениями:

a* = bb* = cc* = 1;

a*b = a*c = b*c = b*a = c*b = c*a = 0

Прямая и обратная решетка сопряжены взаимно, т. е. решетка, построенная на осях a, b,c, является обратной по отношению к решетке a*,b*,c*, а решетка, построенная на векторах a*,b*,c*, – обратной по отношению к решетке a*,b*,c*.

4.2.3. Построение Эвальда (сфера Эвальда)

Обратная решетка жестко связана с кристаллической решеткой кристалла, при повороте кристалла вместе с ним поворачивается и обратная решетка. Для наблюдения дифракции кристалл поворачивают так, чтобы вектор рассеяния совпал бы с одним из узлов обратной решетки.

Предсказать и наглядно изобразить это можно с помощью построения Эвальда (рис. 5).

Рис. 5. Построение Эвальда

Отложим волновой вектор падающей на кристалл волны, так что его конец совпадет с узлом 0 0 0 обратной решетки. Поскольку частота и скорость рассеянной и падающей волны совпадают, вектор рассеянной волны будет иметь ту же длину, что и , но неопределенное направление, тогда его удобно изобразить в виде сферы (сферы Эвальда) с центром в начале вектора . Начало и конец вектора рассеяния тогда будет соответственно концом вектора и концом вектора . Теперь надо узнать, совпадет ли один из возможных векторов с одним из узлов обратной решетки. Для этого следует совместить начальный узел обратной решетки с началом вектора рассеяния (эта же точка – конец вектора ) и посмотреть, попал ли один из узлов на сферу Эвальда. Ясно, что вероятность попадания одного из точечных узлов на сферу практически равна нулю; чтобы такое попадание имело место, необходимо повернуть кристалл и связанную с ним обратную решетку. На рисунке 5 видно, что между длинами векторов и существует связь, выражаемая формулой 13

(13)