Линейное программирование (Графический метод. Симплексный метод) (стр. 12 )

 

(II)

C

 

0 1 2 3 4 5 6

Рисунок 8 – Многоугольник допустимых решений, исходная линия уровня и вектор задачи 11

Координаты контрольной точки подставим в неравенство и получим верное неравенство . Следовательно, полуплоскость, которой принадлежит точка О, определяется неравенством .

Аналогично, для неравенства выберем, в качестве контрольной точке, вновь точку О(0;0). После подстановке координат указанной точки, получаем верное неравенство . Неравенство задает ту полуплоскость, которой принадлежит контрольная точка О(0;0).

Условие неотрицательности переменных требует рассмотрения той части многоугольника решений, которая находится в первой координатной четверти, т. е. выше оси и правее оси .

Многоугольником допустимых решений является четырехугольник ОАВС. Строим исходную линию уровня , т. е. . Выразим переменную через переменную и получим равенство . Эта прямая является биссектрисой второй координатной четверти.

Строим вектор . Вектор =(1;1) перпендикулярен исходной линии уровня и указывает направление, в котором эта функция возрастает с наибольшей скоростью.

Для определения точки в которой целевая функция z принимает максимальное значение передвигаем прямую в направлении вектора . При движении в этом направлении последней общей точкой прямой с многоугольником решений является точка В. В этой точке целевая функция принимает максимальное значение.

Точка B лежит на пересечении прямых (I) и (II). Для нахождения координат точки В решим систему уравнений

В результате решения системы уравнений найдены координаты точки В(2;4). Подставим координаты этой точки в выражения для целевой функции и получим максимальное значение .

Ответ: =6 при х1=2, х2=4.

12  Построим границу полуплоскости в виде прямой (I).

A

(I)

B

C

О

 

Рисунок 9 – Многоугольник допустимых решений, исходная линия уровня и вектор задачи 12

Для уравнения выразим переменную через переменную . В результате преобразований получим следующее уравнение прямой . Точки с координатами (0;1) и (13;5) удовлетворяют уравнению прямой. Второе уравнение обозначим цифрой (II) и выразим переменную через переменную : . Прямая (II) проходит через точки с координатами (6;0) и (0;9).