Линейное программирование (Графический метод. Симплексный метод) (стр. 15 )

(II)

 

О

 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Рисунок 11 – Область допустимых решений задачи 14

Множество допустимых решений не содержит ни одной общей точки. Задача решений не имеет.

Ответ: решений нет.

A

15 Построим границу полуплоскости в виде прямой (I).

(II)

 

B

C

(I)
	D

 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Рисунок 12 – Многоугольник допустимых решений, исходная линия уровня и вектор задачи 15

Для уравнения выразим переменную через переменную . В результате преобразований получим следующее уравнение прямой . Точки с координатами (0;8) и (5;5) удовлетворяют уравнению прямой.

Второе уравнение обозначим цифрой (II) и выразим переменную через переменную : . Прямая (II) проходит через точки с координатами (4;7) и (6;3).

Рассмотрим уравнение , обозначим его цифрой (III) и выразим переменную через переменную : . Точки с координатами (5;8) и (6;4) принадлежат данной прямой.

Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.

Рассмотрим неравенство . Для определения полуплоскости, заданной неравенством возьмем контрольную точку, не принадлежащую прямой (I), с известными координатами, например точку О(0;0). Координаты контрольной точки подставим в неравенство и получим выражение вида . Неравенство является верным, координаты контрольной точки удовлетворяют ему, следовательно, полуплоскость, определяемая неравенством содержит контрольную точку О.

Аналогично, для исследования неравенства выберем, в качестве контрольной точке, вновь точку О(0;0). После подстановке координат указанной точки, получаем неверное неравенство . Неравенство задает ту полуплоскость, которой принадлежит контрольная точка О(0;0).

Неравенство определяет полуплоскость, содержащую контрольную точку, так как выполняется неравенство .

Условие неотрицательности переменных требует рассмотрения той части многоугольника решений, которая находится в первой координатной четверти, т. е. выше оси и правее оси .

Многоугольник ОАВСD является множеством допустимых решений задачи.

Строим исходную линию уровня , в нашем случае уравнение примет вид . Выразим переменную через переменную и получим равенство . Эта прямая проходит через точки с координатами (0;0) и (4;-2).

Строим =(2;4), который перпендикулярен исходной линии уровня и указывает направление, в котором целевая функция возрастает с наибольшей скоростью.

Исходную линию уровня передвигаем в направлении вектора и определяем точки, в которых целевая функция принимает своё максимальное значение. При движении в направлении вектора , последней общей точкой прямой с многоугольником допустимых решений является точка А. В точке А целевая функция принимает максимальное значение. Определим координаты точки А, как точки пересечения прямой (I) и оси . Для этого составим и решим следующую систему уравнений: