Линейное программирование (Графический метод. Симплексный метод) (стр. 14 )

Рассмотрим уравнение , обозначим его цифрой (III) и выразим переменную через переменную : . Точки с координатами (0;0) и (5;2) принадлежат данной прямой.

Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.

Для определения полуплоскости, заданной неравенством , возьмем контрольную точку, не принадлежащую прямой (I), с известными координатами, например точку О(0;0). Координаты контрольной точки подставим в неравенство и получим выражение вида . Получили неравенство, которое не является верным, координаты контрольной точки не удовлетворяют ему. Полуплоскость, определяемая неравенством не содержит контрольную точку О.

Аналогично, выберем контрольную точку с координатами (3;3) и исследуем неравенство . Подставим координаты контрольной точки в неравенство и получим верное неравенство вида .Полуплоскость, содержащая контрольную точку, задается неравенством .

С помощью точки, имеющей координаты (4;4), определим полуплоскость, которую задает неравенством . Подставим координаты контрольной точки в исследуемое неравенство и получим верное неравенство вида . Полуплоскость, заданная неравенством , содержит контрольную точку.

Учтем условие неотрицательности переменных и рассмотрим множество допустимых решений, располагающееся выше оси и правее оси .

Неограниченный многоугольник ABCD является множеством допустимых решений задачи.

Строим исходную линию уровня , т. е. прямую вида . Выразим переменную через переменную и получим следующее уравнение прямой . Эта прямая проходит через точки с координатами (0;0) и

(5;-4).

Строим =(4;5), который перпендикулярен исходной линии уровня и указывает направление возрастания целевой функции с наибольшей скоростью.

Исходную линию уровня передвигаем в направлении вектора и определяем точки, в которых целевая функция принимает своё максимальное и минимальное значение. При движении в направлении вектора , прямая , встретившись впервые с многоугольником решений, сливается с ребром ВС. Задача имеет бесчисленное множество решений – все точки, принадлежащие отрезку ВС, которые дают одно и тоже значение целевой функции.

Многоугольник решений не ограничен сверху, поэтому целевая функция неограниченно возрастает в области допустимых решений .

Определим координаты точек В и С. Точка В лежит на пересечении прямых (I) и (II). Составим решим систему уравнений:

По формулам Крамера, , . Вычислим ; .

Тогда , . Итак, получили координаты точки В(1,62; 2,70).

Аналогично, для определения координат точки С составим и решим следующую систему уравнений

По формулам Крамера, , . Вычислим ; .

Тогда , . Итак, получили координаты точки С(3,33; 1,33).

Значение целевой функции в точке В равно значению целевой функции в точке С. Найдем значение целевой функции, например, в точке С

Запишем выражения для всего отрезка ВС

=, и .

Ответ: =20, точки отрезка с концами (1,62; 2,70) и (3,33; 1,33); .

14 Границей полуплоскости является прямая вида (I). Выберем произвольную контрольную точку с координатами (0;0). В этой точке неравенство не выполняется, так как . Поэтому искомой является полуплоскость, не содержащая контрольную точку.

Рассмотрим неравенство . Границей для него служит прямая (II). В контрольной точке неравенство не выполняется, так как . Контрольная точка принадлежит полуплоскости, не заданной исследуемым неравенством.

Если в неравенство подставить координаты контрольной точки (0;0), то получим неверное неравенство . Искомая полуплоскость, с границей в виде прямой (III), не содержит контрольную точку.

Изобразим прямые, отметим искомые полуплоскости штрихами на рисунке.

(III)

(I)