Линейное программирование (Графический метод. Симплексный метод) (стр. 13 )

Рассмотрим уравнение , обозначим его цифрой (III) и выразим переменную через переменную : . Точки с координатами (2;6) и (13;5) принадлежат данной прямой.

Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.

Рассмотрим неравенство . Для определения полуплоскости, заданной неравенством возьмем контрольную точку, не принадлежащую прямой (I), с известными координатами, например точку О(0;0). Координаты контрольной точки подставим в неравенство и получим выражение вида . Неравенство не является верным, координаты контрольной точки не удовлетворяют ему, следовательно, полуплоскость, определяемая неравенством не содержит контрольную точку О.

Аналогично, для исследования неравенства выберем, в качестве контрольной точке, вновь точку О(0;0). После подстановке координат указанной точки, получаем неверное неравенство . Неравенство задает ту полуплоскость, которой не принадлежит контрольная точка О(0;0).

Неравенство определяет полуплоскость, содержащую контрольную точку, так как выполняется неравенство .

Условие неотрицательности переменных требует рассмотрения той части многоугольника решений, которая находится в первой координатной четверти, т. е. выше оси и правее оси .

Треугольник АВС является множеством допустимых решений задачи.

Строим исходную линию уровня , в нашем случае уравнение примет вид . Выразим переменную через переменную и получим равенство . Эта прямая проходит через точки с координатами (0;0) и (1;-4).

Строим =(4;1), который перпендикулярен исходной линии уровня и указывает направление, в котором целевая функция возрастает с наибольшей скоростью.

Исходную линию уровня передвигаем в направлении вектора и определяем точки, в которых целевая функция принимает своё максимальное и минимальное значение. При движении в направлении вектора , первой общей точкой прямой с треугольником допустимых решений является точка А, а последней общей является точка В. В точке А целевая функция принимает максимальное значение, а в точке В достигает минимального значения.

Определим координаты точки А, как точки пересечения прямых (II) и (III). Для этого составим и решим следующую систему уравнений:

Итак, точка А(2;6) и соответственно

Определим координаты точки B и вычислим значение целевой функции в этой точке. Точка B лежит на пересечении прямых (I) и (III). Для нахождения координат точки В решим систему уравнений

В результате решения системы уравнений найдены координаты точки В(13;5). Подставим координаты этой точки в выражения для целевой функции и получим максимальное её значение .

Ответ: =14 при х1=2, х2=6; =18 при х1=13, х2=5.

13  Границей полуплоскости, заданной неравенством , является прямая (I).

9 8 7 6 5 4 3 2 1

(II)

 

 

Рисунок 10 – Неограниченный многоугольник допустимых решений, исходная линия уровня и вектор задачи 13

Построим эту прямую, выразив переменную через переменную . В результате преобразований получим следующее уравнение прямой (I). Точки с координатами (0;4) и (5;0) принадлежат прямой.

Второе неравенство задает полуплоскость с границей . Обозначим цифрой (II) эту прямую и выразим переменную через переменную : . Прямая (II) проходит через точки с координатами (0;0) и (3;5).