Урок 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения (стр. 2 )

Вопрос. Какие стороны имеет треугольник с максимальной площадью?

4.3. Нахождение наибольшего объема с помощью исследования функции

В некоторых случаях решение задачи на максимум или минимум удается свести к исследованию функции.

Пример 2. В углах квадратного листа жести со стороной 12 см вырезаются одинаковые квадраты, затем края загибаются, и делается коробка в форме прямоугольного параллелепипеда. Как нужно вырезать квадраты, чтобы объем получившейся коробки был наибольшим?

рисунок 5 рисунок 6

Решение. Обозначим сторону вырезаемых квадратов через  (см), причем . Тогда в основании коробки получится квадрат со стороной  (см), а высота коробки  (см). Поэтому объем коробки  (см). Рассмотрим на отрезке функцию .

I. на отрезке определена и непрерывна.

II. , и при остальных из отрезка .

III. .

Следовательно, возрастает на интервале , убывает на интервале и в точке 2 имеет локальный максимум, равный .

Отмеченные закономерности позволяют построить схематичный график функции на отрезке (рисунок 7). Значение является наибольшим на интервале .

Ответ. Нужно вырезать квадраты со стороной 2 см.

Вопрос. Как изменится ответ, если делать коробку наибольшего объема из квадратного листа со стороной ?

4.4. Формулировка теоремы о достижении непрерывной функцией наибольшего и наименьшего значений

Существование наибольшего или наименьшего значений
функции обычно устанавливают на основе следующего утверждения.

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда найдутся такие числа и из отрезка , что , при всех из .

Доказательство этой теоремы сложное и рассматривается в курсах математического анализа.

Вопрос. Пусть функция определена и непрерывна на интервале . При каких условиях множеством значений на будет отрезок?

Это интересно

Теорема о достижении непрерывной функцией наибольшего и наименьшего значений была доказана Вейерштрассом.

Вейерштрасс, (31.10.1815-19.02.1897) – немецкий математик. Исследования Вейерштрасса посвящены математическому анализу, теории функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии и линейной алгебре. Много занимался вопросами обоснования математического анализа на основе построенной им теории действительных чисел.

(Приложение – портрет, рис. 13)

4.5. Доказательство теоремы Ферма

При нахождении наибольшего и наименьшего значений функции важную роль играет теорема Ферма.

Пусть функция определена на отрезке и достигает своего наибольшего (наименьшего) значения во внутренней точке и имеет в точке производную. Тогда .

Доказательство. По условию функция имеет производную в точке . Это означает, что . Следовательно, для каждой последовательности , такой что , и при , последовательность сходится к числу .

Разберем случай, когда функция в точке достигает наименьшего значения, то есть при всех . Так как точка лежит внутри отрезка , то существуют точки этого отрезка, которые меньше . Поэтому можно выбрать такую последовательность , что , и при . Тогда , , откуда , . Поэтому .

Аналогично можно выбрать такую последовательность , что , и при . Тогда , , откуда , . Поэтому .