Урок 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения (стр. 1 )

(11 класс, модуль 8, урок 4)

Урок 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения

План урока

 4.1. Наибольшее и наименьшее значения функции

 4.2. Решение задачи на нахождение наибольшей площади

 4.3. Нахождение наибольшего объема с помощью исследования функции

 4.4. Формулировка теоремы о достижении непрерывной функцией наибольшего и наименьшего значений

 4.5. Доказательство теоремы Ферма

 4.6. Примеры нахождения максимума и минимума функции

4.7. Задача о скорейшем пути

4.8. Задача о наибольшей площади сечения

4.9. Признаки локального максимума и минимума

4.10. Функция Дирихле и строгие локальные экстремумы

Тесты

Домашнее задание

Цели урока:

Рассматривается применение изученных методов исследования функций к решению задач практического содержания.

4.1. Наибольшее и наименьшее значения функции

Рассмотрим функцию и ее значения на отрезке (рисунок 1). Значение является наибольшим из всех значений, которые принимает функция на отрезке . Это означает, что при всех отрезка выполняется неравенство . Заметим, что вне отрезка нетрудно указать точку, в которой функция принимает значение, большее 4.

Наибольшее значение функции существует не всегда. Например, рассмотрим ту же самую функцию на интервале . Предположим, что в какой-то точке из этого интервала значения наибольшее. Но тогда . Поэтому . Если теперь выберем такое, что , то , то есть , и значение не является наибольшим.

Обобщая рассмотренные примеры, дадим определение.

Значение называется наибольшим значением функции на множестве , если и при всех .

Наибольшее значение функции на множестве называют также максимальным значением функции на или максимумом функции на .

Если — максимум функции на , то точку с координатами называют точкой максимума.

Иногда точкой максимума называют также значение переменной , при котором функция принимает максимальное значение на рассматриваемом множестве.

Аналогично определяются наименьшее значение функции на множестве , минимум функции на и точка минимума.

Вопрос. Как определяется наименьшее значение функции на множестве ?

4.2. Решение задачи на нахождение наибольшей площади

В некоторых задачах точку максимума или точку минимума функции удается указать непосредственно, приведя соответствующее доказательство.

Пример 1. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к боковой стороне, имеет длину . Из всех таких треугольников найти треугольник наибольшей площади.

Решение. Обозначим треугольник так, что и его равные стороны и  — данная медиана (рисунок 2). Тогда в треугольнике с известной стороной для точки выполняется соотношение . Отсюда следует, что точка лежит на окружности Аполлония, построенной для точек и с отношением . Диаметр этой окружности определяется точками и прямой такими, что (рисунок 3) Так как по условию , то , , , .

Теперь заметим, что площадь треугольника будет максимальна, когда расстояние от вершины до прямой будет наибольшим. Но так как вершина должна быть на построенной окружности, то максимальное расстояние равно радиусу окружности и достигается тогда, когда (рисунок 4). Следовательно, построенный на рисунке 4 треугольник имеет наибольшую площадь из всех треугольников с условиями и . Значит, максимум площади равнобедренного треугольника с условием вдвое больше, то есть максимальная площадь равна .