Урок 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения (стр. 4 )

4.7. Задача о скорейшем пути

Рассмотрим еще несколько задач на вычисление максимумов и минимумов функции. В этом пункте разберем следующую задачу.

Пример 5. Избушка лесника находится в 5 км от города и в 4 км от прямой дороги, ведущей в город. Зимой лесник может идти по снегу со скоростью 3 км/час, а по дороге со скоростью 4 км/час. По какому маршруту нужно двигаться леснику, чтобы добраться от избушки до города за наименьшее время?

Решение. Пусть на рисунке 10 точкой обозначена избушка лесника, точкой  — город, точкой  — основание перпендикуляра, проведенного из точки до дороги, точкой  — то место дороги, до которого лесник добирается по снегу. Тогда  (км),  (км), откуда по теореме Пифагора  (км). Обозначим через  (км). Тогда  (км),  (км). На движение по ломаной леснику потребуется  часов.

Рассмотрим функцию на отрезке . Функция непрерывна на этом отрезке, и . Решим уравнение : ; ; (где ); ; откуда . Так как , то найденное значение не входит в отрезок . Поэтому для нахождения наименьшего времени нужно сравнить и .

Ответ. Лесник должен двигаться по снегу прямо в город.

Вопрос. Как изменится ответ в этой задаче, если избушка лесника находится в 5 км от города и в 3 км от прямой дороги, ведущей в город?

4.8. Задача о наибольшей площади сечения

В этом пункте разберем следующую задачу.

Пример 6. Прямой круговой конус с высотой и радиусом основания пересекается плоскостью, проходящей через вершину конуса. Как провести плоскость, чтобы площадь сечения была наибольшей?

Решение. В сечении конуса указанной плоскостью всегда получается равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующей конуса, то есть (рисунок 11). Обозначим основание треугольника через . Тогда и .

Далее рассмотрим функцию на отрезке . Функция непрерывна на этом отрезке и

Отсюда при , так как интересующие нас значения неотрицательны.

Найденное значение входит в отрезок , когда или . Ясно, что при , и тогда значения и совпадают. В этом случае сечение проводится через высоту конуса. При наибольшее значение площади сечения следует выбирать из чисел и . Но при из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем . Следовательно, при сечение нужно проводить так, чтобы основание конуса пересекалось по хорде длиной .

Найденное значение не входит в отрезок , если или . В этом случае наибольшая площадь сечения равна , а сечение проводится через высоту конуса.

Ответ. При сечение нужно проводить через высоту конуса; при сечение нужно проводить так, чтобы основание конуса пересекалось по хорде длиной .

Вопрос. Каким еще способом можно решить рассмотренную задачу?

4.9. Признаки локального максимума и минимума

Пусть функция на отрезке достигает наибольшего значения во внутренней точке . Тогда точка является одной из точек локального максимума функции . Действительно, в этом случае значение будет наибольшим в любой окрестности точки , лежащей внутри отрезка . Поэтому наибольшее значение непрерывной на отрезке функции следует искать либо среди точек локального максимума, либо в концах отрезка.