Урок 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения (стр. 5 )

Для нахождения локального максимума функции иногда можно применять следующий признак.

Пусть функция определена и непрерывна в окрестности
точки , имеет положительную производную в каждой точке интервала и имеет отрицательную производную в каждой точке интервала . Тогда является точкой локального максимума функции .

Доказательство.

I случай. Пусть . Тогда на отрезке выполняются все условия теоремы Лагранжа. Значит, , где . По условию , а так как , то . Поэтому , откуда .

II случай. Пусть . Аналогично предыдущему имеем , где . По условию , а так как , то . Поэтому , откуда .

III случай. При имеем очевидное неравенство .

Таким образом, при всех имеем неравенство
, что и доказывает признак.

Для нахождения локального минимума иногда можно применять аналогичный признак.

Пусть функция определена и непрерывна в окрестности точки , имеет отрицательную производную в каждой точке интервала и имеет положительную производную в каждой точке интервала . Тогда является точкой локального минимума функции .

Доказательство. Функция удовлетворяет всем условиям признака локального максимума в точке . Отсюда следует, что — точка локального минимума для функции .

Вопрос. Должна ли точка, где функция принимает наименьшее на промежутке значение, быть точкой локального минимума?

4.10. Функция Дирихле и строгие локальные экстремумы

Встречавшиеся до сих пор примеры локальных максимумов и локальных минимумов могут создать неправильное представление о поведении функции вблизи точки локального экстремума. Например, можно предположить, что в некоторой окрестности точки локального нестрогого максимума слева от точки функция возрастает, а справа убывает. Однако такое бывает не всегда.

Пример 7. Функция Дирихле

в каждой рациональной точке имеет локальный максимум, а в каждой иррациональной точке — локальный минимум.

Иногда к определению локальных экстремумов подходят не так, как было рассмотрено в данной главе, и следующим образом определяют строгие локальные экстремумы.

Определение 1. Точка называется точкой строгого локального максимума функции , если существует такой интервал , содержащий точку , что при всех из , входящих в область определения и отличных от , выполняется неравенство .

Определение 2. Точка называется точкой строгого локального минимума функции , если существует такой интервал , содержащий точку , что при всех из , входящих в область определения и отличных от , выполняется неравенство .

Эти определения частично изменяют смысл локальных экстремумов, что можно продемонстрировать на примере функции Дирихле. Рассматривая нестрогие локальные максимумы и минимумы, мы получаем, что каждая точка является либо точкой локального максимума, либо точкой локального минимума функции Дирихле. Если же рассматривать строгие локальные экстремумы, то функция Дирихле не имеет ни локальных максимумов, ни локальных минимумов.

Вопрос. Как объяснить указанные свойства функции Дирихле?

Мини-исследование

Наличие теоремы Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией наибольшего и наименьшего значений на замкнутом промежутке и теоремы Ферма позволяет доказать теорему Лагранжа о конечных приращениях.

1)  Докажем теорему Ролля:

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , имеет производную в каждой внутренней точке и принимает равные значения на концах промежутка: .Тогда найдется такая внутренняя точка , в которой .

Для доказательства рассмотрите два случая: а) функция принимает наибольшее и наименьшее значения на концах промежутка и поэтому оказывается постоянной; б) либо наибольшее, либо наименьшее значение принимается функцией во внутренней точке . Тогда следует воспользоваться теоремой Ферма.

2)  Для доказательства теоремы Лагранжа рассмотрите функцию

,

и установите, что эта функция непрерывна на промежутке , имеет производную в каждой внутренней точке и принимает равные значения на концах промежутка: . Проверьте, что для той точки , в которой , справедливо равенство