Урок 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения (стр. 3 )

Одновременное выполнение неравенств и означает, что .

Аналогично рассматривается и тот случай, когда функция в точке достигает наибольшего значения.

Из теоремы Ферма следует, что если функция определена на отрезке , то наибольшее значение функции на этом отрезке не может быть в тех внутренних точках отрезка , в которых производная существует и не равна нулю.

Вопрос. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , на интервале строго возрастает, на интервале строго убывает, . В каких точках следует искать максимум и в каких минимум функции ?

Это интересно

Ферма, Пьер (17.08.1601-12.01.1665) – французский математик, по профессии юрист. Автор ряда выдающихся результатов, которые становились известны ученым благодаря переписке и личному общению Исследования Ферма посвящены теории чисел, где с его именем связаны две знаменитые теоремы: великая теорема Ферма и малая теорема Ферма, геометрии, где он с помощью метода координат исследовал кривые второго порядка, методам исследования бесконечно малых, где большое значение имело данное им правило нахождения экстремумов.

(Приложение – портрет, рис. 14)

4.6. Примеры нахождения максимума и минимума функции

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Функция не может достигать наибольшего или наименьшего значения в точке из интервала , если производная в этой точке существует и отлична от нуля. Отсюда следует, что как наибольшее, так и наименьшее значение непрерывной на отрезке функции следует искать либо в тех точках, где производная равна нулю, либо в тех точках, где производной не существует, либо в концах отрезка .

Пример 3. На отрезке найти максимум и минимум функции .

Решение. . Значит, функция на отрезке определена, непрерывна и всюду имеет производную.

Далее, при . Так как при остальных значениях производная не равна нулю, то максимум и минимум следует искать среди значений ; ; ; . Отсюда ясно, что максимум достигается при , минимум достигается при и при . Это хорошо видно на графике (рисунок 8).

Пример 4. На отрезке найти максимум и минимум функции .

Решение. Если или , то
. Поэтому при . Если или , то . Поэтому при . В точке функция производной не имеет.

В результате получаем, что при функция не имеет производной, а при остальных значениях производная не равна нулю. Значит, максимум и минимум функции следует искать среди значений: , , . Отсюда ясно, что минимум достигается при , а максимум достигается при и при . Это хорошо видно на графике (рисунок 9).

Иногда внутреннюю точку отрезка называют критической для функции , если в точке производная либо не существует, либо равна нулю. В этом случае правило вычисления наибольшего и наименьшего значений функции можно сформулировать в следующем виде.

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда наибольшее значение и наименьшее значение на отрезке достигается либо в критической точке, либо в одном из концов отрезка .

Вопрос. Пусть функция непрерывна на отрезке и в каждой точке интервала имеет отличную от нуля производную. Где в этом случае искать максимум и минимум функции ?