Центральные заряды в канонической реализации асимптотической симметрии: пример из трехмерной гравитации (стр. 2 )

II. Решение для 3-мерной гравитации при

Эта глава содержит обсуждение решения для теории гравитации Эйнштейна в 2 + 1 измерениях с отрицательной космологической постоянной. Это решение поможет обосновать наш выбор соответствующих граничных условий, которые будут наложены на метрику в общем случае.

В трех измерениях поле тяготения не содержит никаких динамических степеней свободы, так что пространство-время вдали от источников локально эквивалентно решению уравнений Эйнштейна без материи, а именно, анти-де-ситтерову пространству при Это легко увидеть, если заметить, что полный тензор кривизны может быть выражен через тензор Эйнштейна, а там, где выполняются уравнения Эйнштейна для пустого пространства, тензор кривизны сводится к тензору кривизны анти-де-ситтерова пространства.

Материя, распределение которой предполагается ограниченным, не оказывает никакого влияния на локальную геометрию областей, свободных от источников и поэтому может повлиять только на глобальную геометрию пространства-времени. Основное решение, которое мы здесь рассматриваем, это локально анти-де-ситтерово пространство с радиусом кривизны ,

я

но с необычной идентификацией точек, изменяющей глобальную геометрию. Идентификация точек с точками

будет иметь эффект удаления "клина" с координатным углом и введения "скачка" для временной координаты. Поскольку тензор Риччи определен локально, он не изменяется при этой необычной идентификации нигде, кроме начала координат Следовательно, вакуумные уравнения Эйнштейна будут удовлетворяться всюду, кроме начала координат.

Побуждение рассмотреть только что описанное пространство-время заключается в том, что оно является аналогом конической геометрии для 2+1 гравитации с [12], для которой клин , связан с полной энергией, а скачок связан с полным угловым моментом. Также интересно отметить, что так же, как в случае пространства де Ситтера [13], вырезание клина из анти-де-ситтерова пространства дает решение уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса материальной точки. Можно также предположить, что метрика (2.1) применима к пустой области, внешней к более общему компактному распределению источников.

Геометрически инвариантный характер клина и скачка может быть замечен следующим образом, не зависящим от деталей внутренности пространства-времени, содержащей источник. Сначала заметим, что даже при том, что пространство-время является локально максимально симметричным, единственными векторными полями Киллинга, совместимыми с необычной идентификацией точек являются линейные комбинации векторов Векторы и могут быть выбраны единственным образом (с точностью до констант нормировки) как единственные

два векторных поля Киллинга, которые всюду ортогональны друг другу. С точностью до нормировки, является уникальным векторным полем, всюду ортогональным ко всем векторным полям Киллинга.

Таким образом, всегда могут быть выбраны кривые, которые служат координатными линиями для метрики (2.1). Кроме того, рассмотрим собственную длину L кривой для траектории между точками ее пересечения с траекторией Изменение dL, когда кривая перемещается на собственное расстояние dS вдоль направления , таково, что dL/dS равняется

Для длина L медленнее растет с собственным расстоянием, чем если бы пространство было глобально анти-де-ситтеровым. Наконец, скачок A пропорционален собственному времени между точками пересечения рассмотренных здесь траекторий.

С этого времени нам будет удобнее писать метрику (2.1) с непрерывной переменной времени. Преобразования координат дают

где имеет период , и нет никакого скачка по новому времени. Поля вектора Киллинга в этой системе координат являются линейными комбинациями и . Также заметим, что траектории образуют замкнутые времениподобные линии, если не будут выполнены условия и

В результате, построенное пространство-время представляет разумное решение теории гравитации Эйнштейна только при и больших значениях r; в частности, это верно в асимптотическом пределе

III. Глобальные заряды и R x SO(2) асимптотическая симметрия

Процедура получения глобальных зарядов калибровочной теории в пределах гамильтонового формализма хорошо известна [8]. Первый шаг должен определить граничные условия на пространственной бесконечности, которым поля должны удовлетворять, а затем идентифицировать асимптотическую симметрию, которая сохраняет это асимптотическое поведение. Конечно, в частности для теорий гравитации, чтобы работать с гамильтоновой формулировкой, граничные условия на метрику пространстве-времени должны быть преобразованы в граничные условия на канонические переменные Подобным образом, асимптотическая симметрия пространства-времени определяет дозволенные вектора поверхностных деформаций для рассматриваемых пространственноподобных гиперповерхностей.

Затем, чтобы граничные условия и асимптотические симметрии теории тяготения были приемлемы, должно быть возможным записать гамильтониан как обычную линейную комбинацию связей [14]

плюс соответствующий поверхностный член . Этот поверхностный член который будет с этого времени считаться зарядом, должен иметь вариацию, сокращающую нежелательные поверхностные члены в вариации (3.1). Тогда гамильтониан,

будет иметь хорошо определенные вариационные производные и может использоваться как генератор допустимых поверхностных деформаций.

Практически, заряды обычно определяются из рассмотрения поверхностных членов, возникающих из вариации "объемной части" (3.1) гамильтониана, а именно,

где и точка с запятой обозначает ковариантное дифференцирование в пределах пространственноподобной гиперповерхности. Используя принятое асимптотическое поведение полей и векторов это выражение можно переписать в виде полной вариации поверхностного интеграла. Тогда величина, отличающаяся знаком от этого поверхностного интеграла, с точностью до постоянной, определяет заряд (Как сказано во Введении, эта постоянная отражает неединственность канонических генераторов, и в главе V она будет связана с возможным существованием центральных зарядов в алгебре этих генераторов.)