Центральные заряды в канонической реализации асимптотической симметрии: пример из трехмерной гравитации (стр. 7 )

Чтобы получить эти более сильные условия, сначала отметим, что начальные данные не могут просто быть продолжены посредством генератора , так как этот генератор не сохраняет граничные условия. Здесь и - компоненты в adS ортогональной системе отсчета, приспособленной к поверхностям t=const общего "конформного векторного поля,"

Чтобы сохранять граничные условия, компоненты вектора деформации должны включить "поправочные члены" порядка

и они не являются "чисто калибровочными" (кроме величины , которая больше не будет представлять интереса).

С пространственно-временной точки зрения, необходимость в (А.2, А.4) можно было предвидеть, заметив, что точно такие же члены появляются, если принять во внимание различие между фактическим и анти-де-ситтеровым смещением и сдвигом в формулах

(См. обсуждение в конце главы IV.)

Для определенности, рассмотрим случай асимптотической трансляции по времени Легко видеть, что полностью определяется до соответствующего порядка условием, что - величина того же самого порядка, что и (то есть, O(1/r3)). Как только это сделано, все скобки начинают вести себя правильно на бесконечности, так что остается проанализировать только уравнения для .

Элементарные вычисления показывают, что - величина того же самого порядка, что и , но что , и в общем, спадают слишком медленно, если не будет выбрано должным образом. При использовании тождества Риччи для вторых ковариантных производных векторов эти два условия

допускают решение для тогда и только тогда, когда кривизна пространственных сечений стремится к на бесконечности как

То, чего наивно можно ожидать из (4.4), это , и это является причиной, по которой граничные условия (4.4,4.10) на бесконечности должны быть усилены. Когда выполняется (А.7), общее решение уравнения (А.6) дается формулой

где — заданная локальная функция метрики и ее производных, явная форма которой не будет здесь представлять интереса. Член произволен и соответствует чисто калибровочному преобразованию.

Это еще не все, поскольку условие совместимости (А.7) должно сохраняться во времени гамильтоновыми уравнениями. Эту проблему наиболее удобно анализировать, заметив, что (А.7) эквивалентно

Скобку этого с генератором легко оценить. Это естественно приводит к дополнительным условиям, что функции связей должны спадать быстрее, чем любая степень

Эти условия очевидно сохраняются при асимптотических преобразованиях из конформной группы, и следовательно, образуют замкнутое множество. Соответственно, когда начальные данные удовлетворяют (4.4,4.10) и являются решениями связей в окрестности гиперповерхности на бесконечности, они могут быть распространены путем, совместимым с требованием, чтобы получающееся пространство-время было асимптотически анти-де-ситтеровым. Это отвечает на вопрос, поднятый в начале этого Приложения. Также заметьте, что при этих условиях, эволюция Ли и гамильтонова эволюция эквивалентны, и пространство-время, развитое из начальных данных удовлетворяет всем уравнениям Эйнштейна вблизи бесконечности.

В качестве последнего момента, мы отметим, что зависимость от канонических переменных не оказывает никакого влияния на выражение для зарядов (которое следует из варьирования ). Это происходит, потому что поверхностный член, который возникает после принятия (А.8) во внимание, равен нулю, так как он пропорционален функциям связей .

Благодарности. Мы благодарны Клаудио Тейтельбойму за его советы и поддержку. Это исследование было поддержано частично N. S.F. Grant #PHY-8216715 и исследовательскими фондами Центра Теоретической Физики Университета Техаса.

Добавление. Коциклы недавно стали очень популярными ввиду их связи с аномалиями [21]. Коциклы также появляются в поле монополя [22], и также возникают в других областях физики [23]. Наша статья показывает существование возможно нетривиальных 2-коциклов (центральных зарядов) в канонической реализации алгебры асимптотической симметрии.

Ссылки

1.  Абботт, L. F., Дезер, С.: Стабильность гравитации с космологической постоянной. Nucl. Phys. B195,76 (1982)

2.  Абботт, L. F., Дезер, С.: Определение заряда неабелевых калибровочные теории, Phys. Lett. 116B, 259 (1982)

3.  Герок, Р.: Асимптотическая структура пространства-времени. В книге: Асимптотическая структура пространства-времени, Эспозито, F. P., Виттен, L. (редакторы). Нью-Йорк: Пленум Пресс 1977

3.  Аштекар, А.: Асимптотическая структура поля тяготения на пространственной бесконечности. В книге: Общая теория относительности и тяготение: Спустя сто лет после рождения Альберта Эйнштейна, издание 2 Held, A. (редактор).. Нью-Йорк: Пленум Пресс 1980. См. также его вклад в Слушания Орегонской конференции по массе и асимптотической структуре пространства-времени. Флаэрти, F. (редактор).. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Шпрингер 1984

5. Нельсон, P., Манохар, А.: Глобальный цвет не всегда определен. Phys. Rev. Lett. 50, 943 (1983);

Балачандран, A. P., Мармо, G., Мукунда, N., Нилссон, J. S., Сударшан, E. C. G., Заккария, Ф.:

Топология монополей и проблема цвета. Phys. Rev. Lett. 50, 1553 (1983) 6. Энно, М.: Импульс, энергия, угловой момент и суперзаряд в 2 + 1 супергравитации. Phys. Rev. D29, 2766 (1984); Дезер, С.: 'Расстройство асимптотической инвариантности Пуанкаре в D = 3

гравитации Эйнштейна. Class. Quantum Grav. 2, 489 (1985)

7.  Арнольд, В.: Математические методы классической механики. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Шпрингер 1978

8.  Редже, T., Тейтельбойм, C: Роль поверхностных интегралов в гамильтоновой формулировке общей теории относительности. Ann. Phys. (Нью-Йорк). 88, 286 (1974)

9.  См. например Шерк, Дж.: Введение в теорию дуальных моделей и струн. Rev. Mod. Phys. 47, 123 (1975)

10.  Браун, J. D., Энно, М.: появится в J. Math. Phys.

11.  Джакив, Р.: Введение в теорию квантов Янга-Миллса. Rev. Mod. Phys. 52, 661 (1980)

12.  Дезер, S., Джакив, R., 't Хуфт, Г.: Трехмерная гравитация Эйнштейна: Динамика плоского пространства. Ann. Phys. 152, 220 (1984)

13.  Дезер, S., Джакив, Р.: Трехмерная космологическая гравитация: Динамика постоянной кривизны. Ann. Phys. 153, 405 (1984)

14.  См. например, Дирак, P. A. М.: Теория тяготения в гамильтоновой форме. Proc. Roy. Soc. A246, 333 (1958); Арновитт, R., Дезер, S., Мизнер, C. В.: В книге: Тяготение: введение в текущие исследования. Виттен L. (редактор).. Нью-Йорк: Вилей 1962

15.  Энно, M., Тейтельбоим, C: Асимптотически анти-де-ситтеровы пространства. Commun. Math. Phys. 98, 391 (1985)

16.  Бенгуриа, R., Кордеро, P., Тейтельбоим, C: Аспекты гамильтоновой динамики взаимодействующих гравитационного, калибровочного и хиггсовского полей с с приложениями к сферической симметрии. Nucl. Phys. B122, 61 (1977)

17.  Пенроуз, Р.: В: Относительность, группы, и топология. ДеВитт C, ДеВитт B. (редакторы).. Нью-Йорк: Гордон и Брич 1964

18.  Хансон, A., Редже, T., Тейтельбойм, К.: Принужденные гамильтоновы системы. Ace. Naz. dei Lincei, Рим 1976

19.  Тейтельбойм, C: Коммутаторы связей отражают пространственно-временную структуру. Ann. Phys. (Нью-Йорк). 79, 542 (1973)

20.  Это было получено независимо A. Аштекаром и A. Магнон-Аштекар (частная коммуникация)

21.  См. например, Фаддеев, Л. Д.: Операторная аномалия для закона Гаусса. Phys. Lett. 145B, 81 (1984); Алвейрз, O., Зингер, И. M., Зумино, Б.: Гравитационные аномалии и теорема об индексе семейства. Commun. Math. Phys. 96, 409 (1984); и ссылки там

22.  См. например, Джакив, Р.: 3-коциклы в математике и физике. Phys. Rev. Lett. 54, 159 (1985); Гроссман, Б.: 3-коцикл в квантовой механике. Phys. Lett. 152B, 93 (1985); Ву, Y. S., Зи, А.: Коциклы и магнитный монополь. Phys. Lett. 152B, 98 (1985); Боулвар, D. G., Дезер, S., Зумино, Б.: Отсутствие 3-коциклов в проблеме монополя Дирака. Phys. Lett. 153B, 307 (1985)

23.  Например, в проблеме пространственно-временной симметрии калибровочных полей, см. Энно, М.: Замечания по пространственно-временной симметрии и неабелевым калибровочным полям. J. Math. Phys. 23, 830 (1982)

Сообщил S. W. Хокинг

Получено 13 марта 1985; в пересмотренной форме 15 октября 1985