В принципе, алгебра генераторов 
может быть вычислена прямо из скобок Пуассона. Такой расчет, как правило, очень сложен, но для случая, который мы рассматриваем, ситуация еще хуже, поскольку компоненты вектора деформаций 
зависят от канонических переменных. Эта зависимость обсуждалась в конце главы 4, где было также показано, что вектор не зависит от канонических переменных в лидирующем порядке по 
, и таким образом, его асимптотическая форма может быть полностью определена только выбранным вектором конформной группы. Вывод, который мы здесь представляем, не зависит от дальнейших деталей для . И должно быть также подчеркнуто, что зависимость от канонических переменных не имеет логической связи с присутствием центральных зарядов в алгебре генераторов.
Нашей исходной точкой при вычислении алгебры генераторов (5.1) является теорема, доказанная в [10]. Теорема является вполне естественной и утверждает, что скобка Пуассона 
двух хорошо определенных генераторов сама по себе является хорошо определенным генератором. Как было показано выше, заряды 
определены только с точностью до добавления постоянной, которая была выбрана в (4.11) так, чтобы глобальное анти-де-ситтерово пространство не имело заряда. В результате показано, что часть, образованная объемным интегралом скобки Пуассона, имеет тот же вид, как и (5.1), следовательно, поверхностный член, который должен возникать в этой скобке Пуассона может самое большее отличаться от заряда в уравнении (4.11) на константу 
, которая зависит только от асимптотического вида деформаций 
. Тогда, если даны два генератора 
вида (5.1), то их скобка Пуассона может быть записана как
где 
— также хорошо определенный генератор вида (5.1).
Чтобы продемонстрировать, что (5.2) есть центральное расширение алгебры конформной группы, должно быть показано, что асимптотический вид вектора деформации 
дается скобкой Ли 
.
Конечно, это оставляет открытой возможность, что константы 
, так что центральное расширение тривиально. Мы подождем до конца, чтобы вычислить константы 
явным образом и показать, что они не могут быть поглощены переопределением канонических генераторов.
Критическим шагом в этом анализе является понимание, что объемный член скобки Пуассона может быть вычислен в предположении, что 
есть чистые калибровки, в каком случае заряды исчезают. Действительно, скобка Пуассона определена в терминах вариационных производных гамильтоновых генераторов. Определение этих генераторов включает добавление зарядов в виде поверхностных интегралов, как раз таким образом, что вариации будут давать ``правую часть'' гамильтоновых уравнений, которые локальны по каноническим переменным и векторам деформаций, независимо от асимптотического поведения векторов деформаций. Тогда генератор, полученный вычислением скобки Пуассона, в предположении, что описывают чистые калибровочные деформации, может также отличаться от генератора, который был бы получен без этого предположения на члены, которые исчезают, когда есть чистые калибровки. Более того, эти дополнительные члены, появляющиеся в скобке Пуассона 
, есть как раз те самые поверхностные члены, которые возникают при интегрировании по частям. Ввиду вышеупомянутой теоремы, они должны быть в точности теми поверхностными интегралами, которые необходимы, чтобы сделать скобку хорошо определенным гамильтоновым генератором, когда векторам деформации разрешено описывать преобразования конформной группы на бесконечности.
Таким образом, в предположении, что есть чистые калибровки, заряды исчезают, и скобки Пуассона могут быть
здесь вектор 
дается обычной алгеброй поверхностных деформаций для векторов 
, [19] а 
представляет собой изменение компонент вектора 
под действием поверхностных деформаций, порожденных 
. Также скобки Пуассона, такие как 
должны быть вычислены с учетом интегрирования по 
и 
, так как это есть вектора чистых калибровочных деформаций, и они исчезают достаточно быстро на бесконечности, гарантируя, что вариационные производные 
могут быть хорошо определены. Тогда, в силу высказанных выше аргументов, скобка Пуассона в общем случае должна иметь вид (5.2), где
даже если 
являются векторами конформной группы.
Чтобы распознать $\zeta$ как специальный вектор конформной группы (4.5), напомним, что каждый такой вектор определяется единственным образом, с точностью до калибровочных членов, его ведущим вкладом по 
. Так как члены ведущего вклада всех векторов калибровочной группы не зависят от канонических переменных, отсюда следует, что 
дают вклады только высших порядков в 
в уравнении (5.3). Последний член в (5.3) также не будет давать вклада в в ведущем порядке, поскольку он является линейной комбинацией связей и их производных, которая должна убывать быстрее, чем любая степень (см. Приложение). В результате вектор может быть записан, в ведущем порядке, как
Далее, тот факт, что правая часть (5.2) есть хорошо определенный генератор, гарантирует, что члены не ведущего порядка в (5.3) должны выпадать, таким образом, что удовлетворяет требованиям на вектор конформной группы во всех необходимых порядках по .
Завершающим шагом в демонстрации того, что (5.2) есть центральное расширение алгебры конформной группы, будет доказательство, что в ведущем порядке по алгебра поверхностных деформаций 
совпадает с алгеброй Ли 
векторов конформной группы 
. Это можно сделать, записав сначала алгебру поверхностных деформаций в пространственно-временных координатах, через пространственно-временные компоненты векторов деформаций (где верхний индекс (3), ранее использованный для обозначения пространственно-временных компонент будет опущен):
Эти выражения упрощаются при использовании асимптотического вида пространственной метрики 
(4.4), смещения 
и сдвигов 
(4.9) и при использовании (4.6), для того чтобы связать члены ведущих порядков в компонентах векторов конформной группы. Тогда алгебра поверхностных деформаций, как видно, совпадает с алгеброй Ли в ведущем порядке по и
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
