Для случая 2+1 гравитации с , аналогия с 2+1 гравитацией с [6,12] предлагает, чтобы мы ограничили метрику вне источников семейством метрик, определенным двумя параметрамии A, появляющимися в (2.2). Это ограничение служит граничным условием на метрику. Тогда асимптотические симметрии совпадают с векторными полями Киллинга и и асимптотической группой симметрии, связанной с этими граничными условиями, является R x SO(2).

Значения зарядов, связанные с , для метрики (2.2) могут быть вычислены следующим образом. Обозначим некоторую линейную комбинацию векторов с компонентами в пространственно-временной системе координат. Тогда компоненты этого вектора описывают допустимую деформацию поверхности вне источника. Они связаны с пространственно-временными компонентами соотношениями

где N — смещение и N i — сдвиги для пространственно-временной системы координат. Смещение и сдвиги вычисляются непосредственно из (2.2); в частности,

и, так как также компоненты.

Единственными отличными от нуля компонентами канонических переменных, необходимыми для вычисления выражения (3.3), являются

что дает

Таким образом, заряды, связанные с симметриями d/dt и d/dφ, с точностью до констант, имеют вид

Они в точности совпадают с энергией и угловым моментом локально плоской 2+1 гравитации [6,12], так что предел этих зарядов при является тривиально правильным.

IV. Конформная группа асимптотической симметрии

Естественно спросить, не слишком ли строгим является ограничение метрики вне источников видом (2.2). В идеале, граничные условия могли бы быть ослаблены, чтобы группа асимптотических симметрий была расширена до группы анти-де-ситтера в 2+1 измерениях, а именно, O(2,2). Эта глава обращается к такому ослаблению граничных условий, хотя группа асимптотических симметрий, которая естественно возникает, будет не O(2,2), а конформной группой в двух измерениях.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Идея ослабления граничных условий возникает из переписывания метрики (2.2) с помощью замен координат

так, чтобы метрика теперь читалась так:

Заметьте, что когда A= 0, доминирующие вклады в этой метрике и в глобально анти-де-ситтеровом пространстве совпадают друг с другом и имеют вид

В этом смысле, кажется естественным рассматривать метрику (4.2), по крайней мере когда A= 0, как "асимптотически анти-де-ситтерову."

Понятие "асимптотически анти-де-ситтеровый" должно быть сделано точным, путем определения граничных условий, которым метрика должна удовлетворять. Если анти-де-ситтерова группа должна быть частью асимптотической симметрии, сохраняющей эти условия, то метрика, полученная из анти-де-ситтерова преобразования, действующего на (4.2), должна также быть "асимптотически анти-де-ситтеровой." Действуя на (4.2) (с A=0 или без A=0) всеми возможными преобразованиями анти-де-ситтеровой группы, мы получаем следующие граничные условия:

Интересно сравнить граничные условия (4.3-4.4) с граничными условиями на метрику для гравитации в 3+1 измерении при [15]. Ограничивая пространственные сечения в 3+1-мерном случае до двух измерений (например, , мы видим, что различие между дозволенной метрикой и анти-де-ситтеровым пространством должно уменьшаться в 3+1 измерениях на одну степень быстрее, чем в 2+1 измерениях.

После выбора граничных условий для метрики, асимптотическая симметрия описывается векторными полями, которые преобразуют метрики вида (4.3-4.4) в себя. Конечно, эти векторные поля будут включать в себя анти-де-ситтерову группу симметрии, O(2,2). Анализ уравнений преобразования Ли для метрики (4.3-4.4) показывает, что пространственно-временные компоненты этих векторов удовлетворяют условиям:

с функциями, удовлетворяющими уравнениям:

Для вышеупомянутых векторов, члены в компонентах и члены в r компонентах произвольны, и представляют собой чистые, или "собственные" [16], калибровочные преобразования. Таким образом, рассмотрим любой вектор деформации, t-компонента которого ведет себя как , а r-компонента ведет себя как Как будет показано ниже, такие векторы деформации не имеют никакого связанного с ними заряда и генераторы этих деформаций слабо исчезают. Тогда преобразования, описываемые этими векторами, являются чисто калибровочными, производящими эффекты, которые нельзя рассматривать как физически значимые. Итак, выражаясь точнее, асимптотическая группа симметрий будет определена как фактор-группа, полученная путем идентификации всех преобразований, описываемых векторами (4.5), которые могут отличаться членами в компонентах, или членами в r компонентах.

Асимптотическая группа симметрии, определенная выше, изоморфна псевдоконформной группе в двух измерениях. Это можно видеть из (4.6), заметив, что функции и удовлетворяют конформным уравнениям Киллинга в двух измерениях с индефинитной метрикой, и если однажды выбрано решение , то остальные функции определены. Мы будем часто обращаться к асимптотической группе симметрии как просто к конформной группе.

Конформная группа также возникает как асимптотическая группа симметрии из конформного анализа бесконечности [17]. Обозначая метрику (4.3-4.4) как , конформно связанная с ней метрика имеет при r=∞ поверхность с индуцированной метрикой

Группа конформных движений на этой поверхности есть как раз псевдоконформная группа в двух измерениях.

Из-за условий периодичности по координате конформные уравнениях Киллинга (4.6) можно проанализировать с помощью разложения Фурье. Тогда асимптотическая симметрия (4.5) может быть написана явно в терминах целых n как

Алгебра группы для генераторов (4.7) может быть написана следующим образом:

Заметьте, что анти-де-ситтерова группа O(2,2) — подгруппа, натянутая на вектора (4.7) с n = 0, 1. Однако, O(2,2) не инвариантная подгруппа, таким образом нет никакого очевидного способа ограничить асимптотическую симметрию только анти-де-ситтеровой группой. Ситуация здесь подобна 3+1 асимптотически плоской гравитации, которая имеет группу Spi (подобную BMS группе) асимптотических симметрий, содержащую группу Пуанкаре в качестве подгруппы. Напротив, группа асимптотической симметрии для гравитации в 3+1 измерениях с есть в точности анти-де-ситтерова группа O (2,3) [15].

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7