Центральные заряды в канонической реализации асимптотической симметрии: пример из трехмерной гравитации (стр. 1 )

Центральные заряды в канонической реализации асимптотической симметрии: пример из трехмерной гравитации

J. Дэвид Браун и Марк Энно ***

Центр Теоретической Физики, Университет Техаса в Остине, Остин, Техас 78712, США

Резюме. Показано, что глобальные заряды калибровочной теории могут привести к нетривиальному центральному расширению асимптотической алгебры симметрии уже на классическом уровне. Это сделано, при изучении трехмерной гравитации с отрицательной космологической постоянной. В зависимости от граничных условий, принятых на пространственной бесконечности, асимптотической группой симметрии в этом случае будет или RxSO(2) или псевдоконформная группа в двух измерениях. В последней ситуации, в алгебре канонических генераторов появляется нетривиальный центральный заряд, который оказывается центральным зарядом Вирасоро.

I. Введение

В общей теории относительности и в других калибровочных теориях, сформулированных на некомпактном ("открытом") пространстве, понятие асимптотической симметрии, или "глобальной симметрии," играет фундаментальную роль.

Асимптотическая симметрия — это, по определению, те калибровочные преобразования, которые оставляют рассматриваемые полевые конфигурации асимптотически инвариантными, и недавно было явно показано, что они существенны для определения полных ("глобальных") зарядов теории [1,2]. (Более ранние связи между асимптотической симметрией и сохраняющимися величинами в специфическом случае теории Эйнштейна, см. в работах [3,4] и в приведенных там ссылках.)

Основная связь между асимптотической симметрией и глобальными зарядами была вновь подчеркнута в недавних статьях, имеющих дело с сектором монополей в SU(5) теории Великого Объединения [5] и с D=3 гравитацией и супергравитацией [6], где было подтверждено, что отсутствие асимптотической симметрии запрещает определение глобальных зарядов. Прежде всего, ненарушенная группа симметрии для монопольного решения не содержится в наборе асимптотических симметрий из-за топологических преград. Это запрещает определение имеющих физический смысл глобальных цветных зарядов, связанных с ненарушенной группой. Во втором случае, нетривиальные глобальные свойства конической геометрии, которая описывает элементарное решение для D=3 гравитации, предотвращают существование хорошо определенных пространственных трансляций и бустов, и следовательно, также импульса и "заряда Лоренца."

В гамильтоновом формализме глобальные заряды появляются как канонические генераторы асимптотической симметрии данной теории: с каждой такой инфинитезимальной симметрией связана функция фазового пространства, которая порождает соответствующее преобразование канонических переменных. В общем, считается само собой разумеющимся, что алгебра скобок Пуассона для зарядов изоморфна алгебре Ли инфинитезимальных асимптотических симметрий, то есть, что

Цель этой статьи состоит в том, чтобы подробно проанализировать этот вопрос.

Оказывается, что, в то время как равенство (1.1) выполняется во многих важных примерах, в общем случае оно неверно. Скорее, глобальные заряды приводят только к "проективному" представлению асимптотической группы симметрии,

В уравнении (1.2) "центральные заряды" которые не содержат канонических переменных, являются вообще говоря нетривиальными, то есть, они не могут быть устранены добавлением к генераторам констант .

Возникновение классических центральных зарядов ни в коем случае не является особенностью общей теории относительности и калибровочных теорий, они естественно возникают и в гамильтоновой классической механике ([7], Приложение 5). Это следует из неединственности канонического генератора, связанного с данным (гамильтоновым) векторным полем на фазовом пространстве. Действительно, этот генератор определен только с точностью до постоянной, которая коммутирует с чем угодно. Соответственно, скобка Пуассона двух генераторов данной симметрии может отличаться на константу от генератора, связанного со скобкой Ли этой симметрии.

Подобное явление происходит с асимптотической симметрией в калибровочных теориях. В этом случае гамильтонов генератор данной асимптотической симметрии отличается от линейной комбинации связей канонического формализмa на поверхностный член , такой, что для , где

хорошо определены функциональные производные [8].

Но это требование фиксирует, и следовательно, только с точностью до произвольной постоянной. Эта неоднозначность сигнализирует о возможности появления центральных зарядов.

Поскольку теория центральных зарядов в классической механике известна [7], мы здесь обсудим только те аспекты, которые являются специфическими для калибровочных теорий и асимптотических (в противоположность точным) симметрий. Это будет сделано путем детального рассмотрения трехмерной гравитации Эйнштейна с отрицательной космологической константой . В этом случае, мы покажем, что асимптотической группой симметрии будет или RxSO(2), или конформная группа в двух измерениях, в зависимости от выбора граничных условий на пространственной бесконечности. В последнем случае, в алгебре скобок Пуассона канонических генераторов появляется нетривиальный центральный заряд, фактически знакомый нам из теории струн [9].

Трехмерная гравитация с представлена здесь прежде всего с целью дать пример центральных зарядов в канонической реализации асимптотической симметрии. Однако, исследование трехмерной гравитации не является полностью академическим и представляет некоторый самостоятельный интерес, помимо связи с центральными зарядами. Действительно, предыдущий опыт работы с калибровочными теориями показал, что из моделей в низших размерностях можно кое-что узнать о классических и квантовых аспектах более сложных четырехмерных теорий. В гравитационном случае, три является критическим числом измерений, так как в меньшем числе измерений не существует никакой теории Эйнштейна обычного типа (то есть, с локальным принципом действия, использующим только псевдориманову метрику). Таким образом, чтобы лучше понять гравитацию Эйнштейна в высших измерениях, естественно обратиться к трехмерным моделям.

Обсуждение включает некоторые тонкости, потому что алгебра связей общей теории относительности не является истинной алгеброй, она содержит канонические переменные. Этот факт имеет два следствия: (i) алгебра асимптотической симметрии является истинной алгеброй только асимптотически; (ii) не могут непосредственно использоваться стандартные теоретико-групповые аргументы.

В ходе нашего исследования мы полагаемся на полезную теорему, которая была доказана в [10], касающуюся гамильтоновой динамики на бесконечномерных фазовых пространствах. Эта теорема устанавливает, при соответствующих условиях, что скобка Пуассона двух дифференцируемых функционалов не содержит в своей вариации никаких нежелательных поверхностных членов, и поэтому имеет хорошо определенные функциональные производные. Это свойство используется, чтобы доказать, что скобка Пуассона асимптотических генераторов симметрии дает (тривиальное или нетривиальное) проективное представление асимптотической группы симметрии. Должно быть подчеркнуто, что методы, развитые здесь при рассмотрении трехмерной гравитации, являются весьма общими и могут быть применены, например, к четырехмерной гравитации, чтобы доказать подобную теорему о представлении. Такая теорема неявно использовалась, но явно не демонстрировалась, например в [8,12].

Пример трехмерной гравитации с отрицательной космологической постоянной также демонстрирует ключевую роль, которую играют граничные условиям, определяющие структуру асимптотической группы симметрии, но не полностью продиктованные теорией. (На это было также указано в [11].)

В заключение, позвольте нам отметить, что существование истинного центрального заряда исключается в специфическом случае, когда асимптотическая симметрия может быть понята как точная симметрия некоторой фоновой конфигурации. Действительно, в этой ситуации заряды, оцененные для этого фона, являются инвариантными при преобразовании асимптотической симметрии, так как сам фон остается неизменным. Выбирая произвольную постоянную в так, чтобы (для фона) = 0, из уравнения (1.2) видим, что исчезает. Однако, важный случай "фоновой симметрии" не исчерпывает всех интересных приложений понятия асимптотической симметрии. Например, бесконечномерная группа B. M.S. [3,4] не может быть реализована как группа изометрий некоторой четырехмерной метрики. Это дает дополнительное побуждение анализировать каноническую реализацию асимптотической симметрии на общих основаниях.