Центральные заряды в канонической реализации асимптотической симметрии: пример из трехмерной гравитации (стр. 4 )

До сих пор, асимптотическая симметрия рассматривалась как группа векторных полей, сохраняющих метрику пространства-времени (4.3-4.4) при переносе Ли. В каноническом формализме, эти векторные поля становятся дозволенными асимптотическими деформациями пространственноподобной поверхности, которая описана каноническими переменными Из (4.3-4.4), смещение и сдвиг должны иметь вид

так, чтобы асимптотическое поведение канонических переменных давалось уравнениями (4.4), наряду с

Однако, в каноническом формализме пространственноподобные поверхности эволюционируют согласно гамильтонову развитию, которое, вообще говоря, отличается от переноса Ли, если не выполняются пространственные уравнения Эйнштейна . Чтобы гарантировать, что пространственноподобные поверхности, первоначально удовлетворяющие граничным условиям (4.4) и (4.10), сохранят эти граничные условия под действием деформаций, порожденных гамильтонианом, необходимо наложить дальнейшие ограничения на канонические переменные [15].

В Приложении мы показываем что когда в окрестности бесконечности выполняются гамильтоновы связи , тогда граничные условия (4.4,4.10) сохраняются при гамильтоновой эволюции. Причина, по которой можно сформулировать дополнительные условия на канонические переменные в терминах связей, состоит в том, что пространственная часть тензора Эйнштейна определяющая различие между эволюцией Ли и гамильтоновой эволюцией, связана со связями через свернутые тождества Бианки. В 2 + 1 измерениях не требуется никаких дальнейших условий на канонические переменные, потому что имеется в точности три компоненты , которые должны быть ограничены тремя связями Конечно, пока пространственноподобная поверхность вложена в пространство-время, которое удовлетворяет уравнениям Эйнштейна, ограничения будут так или иначе удовлетворены, таким образом эти условия не имеют никаких серьезных последствий.

Как описано в главе III, заряд можно найти, принимая во внимание асимптотическое поведение канонических переменных (4.4,4.10) и векторов деформации (4.5) и переписав интеграл (3.3) в виде полной вариации поверхностного интеграла. Этот поверхностный интеграл, взятый с противоположным знаком, а фактически линейный интеграл для 2+1 пространственно-временных измерений, определяет заряд с точностью до постоянной, которая будет выбрана таким образом, чтобы обращался в ноль для глобально анти-де-ситтерова пространства. Обозначив пространственную метрику глобально анти-де-ситтерова пространства-времени заряд получаем в виде:

где горизонтальная черта указывает на ковариантное дифференцирование, согласованное с метрикой Это выражение для имеет ту же самую форму, что и выражение, полученное для 3+1-мерной

гравитации с [15]. Также заметьте что, как уже было упомянуто, заряд исчезает для любой поверхностной деформации, которая описывает чисто калибровочное преобразование.

Для пространства-времени (4.2) единственными отличными от нуля зарядами являются связанные с и а именно

Эти два вектора A0 и B0 являются по существу генераторами асимптотической группы симметрии R x SO(2), рассмотренной в главе III, отличаясь них только нормировкой. Однако, "энергия" , полученная из (4.12a), по контрасту с (3.6a), больше не имеет желательного предела при Это также не должно быть удивительным, так как изменение координат (4.1) включало "канонические переменные" в виде α и A. Координата t в (4.2) больше не нормирована на собственное время в пределе , и соответственно, нормальная компонента вектора деформации , используемая, чтобы определить энергию, больше не нормирована на единицу в этом пределе.

Наконец, будет важно для последующего понять асимптотическую форму компонент векторов поверхностной деформации Эти компонеты даются в уравнении (3.4) в терминах пространственно-временных компонент некоторого вектора конформной группы , ограниченного на поверхность t = const. Члены ведущего порядка в определены полностью, если заданы пространственно-временные компоненты . Но в более высоких порядках по зависят от неопределенных членов O(1/r) в смещении N и сдвиге. Тогда, на гамильтоновом языке, асимптотическая форма векторов поверхностных деформаций зависит от канонических переменных. (См. подробности в Приложении.)

Фактически, зависимость от канонических переменных несущественна при установлении (4.11) как надлежащего поверхностного интеграла, который должен появиться в гамильтониане, или при оценке зарядов для пространства-времени, типа (4.2), потому что в этих целях, необходимо знать только в ведущем порядке по Однако, не только ведущий порядок важен для требования, что граничные условия на канонические переменные должны сохраняться при поверхностных деформациях.

V. Каноническая реализация асимптотических симметрий

Главной целью этой статьи является указать на возможное существование центральных зарядов в канонической реализации асимптотических симметрий. В этой главе мы явным образом выведем алгебру скобок Пуассона гамильтоновых генераторов для 2+1 гравитации с конформной группой асимптотических симметрий, а также получим центральные заряды. Из этого примера должно быть ясно, что для любой калибровочной теории глобальные заряды могут образовать центральное расширение алгебры асимптотических симметрий с потенциально нетривиальными центральными зарядами.

Гамильтоновы генераторы для 2+1 гравитации имеют вид

где —стандартные связи общей теории относительности, а — заряды. Когда разрешенные деформации определяются конформной группой асимптотических симметрий, заряды даются поверхностным интегралом в уравнении (4.11). Эти поверхностные интегралы строятся таким образом, что гамильтониан будет иметь хорошо определенные вариационные производные, и в результате, будет хорошо генерировать поверхностные деформации через скобки Пуассона.

Асимптотические симметрии канонически реализуются фактор-группой генераторов поверхностных деформаций, которая определяется отождествлением двух гамильтоновых генераторов, описывающих ту же самую асимптотическую деформацию (из конформной группы) и отличающихся только чисто калибровочной деформацией. Именно в этом смысле мы будем, не совсем точно, ссылаться на гамильтоновы генераторы , как на дающие каноническую реализацию, или также, центральное расширение алгебры конформной группы. С другой стороны, фиксировать калибровку, так чтобы связи выполнялись в сильном смысле, это эффективно то же самое, что рассматривать фактор-группу, поскольку тогда асимптотическая часть вектора деформации определяет поверхностную деформацию всюду, и заряды сами по себе становятся хорошо определенными генераторами через скобку Дирака, см. [18]. Алгебра этих зарядов тождественна алгебре фактор-группы гамильтоновых генераторов, так что заряды также реализуют алгебру группы асимптотических симметрий.