Центральные заряды в канонической реализации асимптотической симметрии: пример из трехмерной гравитации (стр. 6 )

Предыдущие аргументы показывают, что вклад конформной группы в вектор деформации , т. е. та часть, которая не является чистой калибровкой, дается скобкой Ли . В результате уравнение (5.2) говорит, что гамильтоновы генераторы образуют центральное расширение алгебры конформной группы. Мы теперь вычислим центральные заряды явным образом и этим самым покажем, что центральное расширение не является тривиальным, поскольку центральные заряды не могут быть поглощены переопределением генераторов.

Центральные заряды могут быть оценены непосредственно, учитывая, что скобка Дирака интерпретируется, как изменение заряда под действием поверхностной деформации единичной длины, порожденной , так что

С другой стороны, так как заряды образуют центральное расширение алгебры конформной группы,

Центральные заряды могут быть получены из уравнения (5.5), что легче всего сделать на поверхности глобально анти-де-ситтерова пространства-времени, .

Так как заряд (4.11) был выбран так, что он исчезает для глобально анти-де-ситтерова пространства-времени, то , и заряд , до того как поверхность деформируется, также равен нулю. В этом случае, центральный заряд сводится к значению заряда на поверхности, деформированной с помощью .

Чтобы оценить на деформированной поверхности, выражение (4.11) может быть существенно упрощено путем перехода к координатам и использования известной асимптотической формы канонических переменных. Это дает

что может быть упрощено еще более, с учетом того, что в ведущем порядке по . Тогда все что нам требуется — это метрические компоненты при , которые легко могут быть вычислены из деформированного анти-де-ситтерова пространства-времени по формуле:

Выполняя все это для приравненных всем возможным комбинациям (4.7), мы находим, что единственными ненулевыми центральными зарядами оказываются следующие:

(Если одна из величин является чистой калибровочной деформацией, то предыдущие аргументы показывают, что ассоциированные центральные заряды, как и должно быть, исчезают, см. [19]. Когда чистой калибровкой является , это происходит, поскольку исчезает для всех допустимых полевых конфигураций. Подобным образом, поскольку скобка Дирака может быть интерпретирована как , из этого следует, что центральные заряды исчезают, когда чистой калибровкой является .)

Алгебра скобок Дирака для зарядов может теперь быть записана следующим образом:

Должно быть ясно из этого расчета, что если все асимптотические симметрии являются точными симметриями анти-де-ситтерова пространства, то центральные заряды должны исчезнуть. Как показано во Введении, для любой теории, асимптотические симметрии которой являются точными симметриями некоторой фоновой полевой конфигурации, центральные заряды могут быть сделаны равными нулю, просто в результате того, что заряды могут быть выбраны равными нулю на этом фоне.

В нашем случае, когда асимптотические симметрии не могут быть реализованы как точные симметрии некоторого фона, легко видеть, что центральные заряды нетривиальны. Например, скобка Ли из уравнения (4.8) реализуется в (5.6) как

Если заряды переопределить при помощи формул и , то (5.7) принимает вид

Ясно, что константы никогда не могут быть выбраны так, чтобы центральные заряды исключались для всех значений .

Интересно отметить, что алгебра (5.6) является в действительности прямой суммой двух алгебр Вирасоро. Замена базиса

обратима для через , и алгебра ассоциированных зарядов принимает вид

Это просто обычная алгебра для канонических генераторов теории струн [9].

В качестве последнего замечания мы кратко укажем на некоторые аналогии с 4-мерной гравитацией в асимптотически плоском случае. Группа асимптотических симметрий является бесконечномерной ``группой Spi'' [4], пока поведение гравитационных переменных на пространственной бесконечности не ограничено при помощи условий четности, как в работе [8]. Тогда оказывается, что ``центральный заряд'' появляется в канонической реализации этих симметрий, в том смысле, что операторы Spi преобразуются неоднородно при асимптотических преобразованиях Spi. Однако однородная часть в алгебре скобок Пуассона генераторов не дает представления алгебры Spi (скобка двух бустов содержит нежелательное, зависящее от метрики и от угла преобразование) [20], так что ситуация в этом случае в действительности намного хуже. Это дает дополнительную мотивацию для наложения дополнительных граничных условий, чтобы исключить супертрансляционные неоднозначности [8,4].

Приложение: Проблема начальных данных

В основном тексте мы показали, что пространственно-временная метрика, удовлетворяющая граничным условиям (4.3-4.4), является асимптотически инвариантной при преобразованиях пространственно-временных координат (или "диффеоморфизмах"), которые становятся асимптотически элементами двумерной конформной группы, в смысле (4.5). Мы также показали, что в таком пространстве-времени, пространственная метрика и ее канонический импульс спадают на соответствующих пространственноподобных сечениях как в (4.4,4.10).

Тогда рассмотрим следующую задачу с начальными данными: предположим, что на начальной поверхности t = 0 начальные данные имеют асимптотическое поведение (4.4,4.10). Можно ли найти такие функции смещения и сдвига, что эти начальные данные могут быть развернуты, посредством гамильтоновых уравнений, в пространственно-временную метрику, удовлетворяющую (4.3-4.4)?

Этот вопрос не является просто обратным к анализу главы IV, потому что перенос Ли и гамильтонова эволюция совпадают только на поверхности связей (‘on shell’). Различие между ними измеряется динамическими компонентами тензора Эйнштейна. Эти компоненты, как оказывается, спадают слишком медленно на бесконечности, так что ими можно пренебречь только при более сильных граничных условиях на начальные данные (см. ниже). Это явление также имеет место в 3+1 гравитации [15].