Задача Штурма-Лиувилля в этом случае имеет вид:
,
,
а ее решениями являются функции
Следовательно, разложение плотности источника представлено в виде
.
Для того, чтобы найти функции 
, умножим обе части последнего соотношения на 
и проинтегрируем от 0 до 1 по координате х.
В результате получим
или 
.
Шаг 2. (нахождение отклика 
на входное воздействие 
).
Заменим плотность источника его разложениям в ряд
.
Поскольку решение задачи имеет вид 
, то подставляя это выражение в исходную задачу
.
,
получим
(удовлетворяется тождественно);
(удовлетворяется тождественно);
.
Переписывая уравненияи НУ, получим
(УЧП) 
;
НУ: .
Можно заметить, что функции 
являются решениями задачи Коши:
Все эти ОДУ легко решаются и их решения записываются в виде
.
Следовательно, полное решение задачи
(4)
Из решения (4) следует, что температурный отклик состоит из двух частей: первая часть возникает благодаря НУ, а вторая часть – благодаря плотности источника 
.
Рассмотрим задачу
,
.
Наша цель вычислить коэффициенты в разложении 
. Если подставить это разложение в исходную задачу, мы получим следующую задачу Коши для определения функций :
Перепишем эти уравнения последовательно для 
Следовательно, решение задачи
.
Задания
1. Найти решение задачи
,
ГУ: 
НУ: 
.
2. Решить задачу
,
ГУ: 
НУ: 
.
Преобразовать сначала ГУ к нулевым. Получившуюся при этом задачу решить методом разложения по собственным функциям.
3. Решить задачу
ГУ: 
НУ: 
.
4. Решить задачу
,
ГУ: 
НУ: 
.
5. Дан тонкий однородный стержень длиной 
, начальная температура которого 
. На конце 
температура поддерживается равной 0, а на конце 
температура изменяется по закону 
. Найти распределение температуры вдоль стержня.
6. Решить задачу об остывании однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура 
, один конец теплоизолирован, а другой поддерживается при постоянной температуре 
.
7. Дан тонкий однородный стержень длиной 
, начальная температура которого х. Конец стержня поддерживается при постоянной температуре , а конец при постоянной температуре 
. С боковой поверхности стержня происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, температура которой равна 0. Определить температуру стержня в момент времени t.
8. Дан тонкий однородный стержень длиной , начальная температура которого х. Конец стержня поддерживается при температуре , а на конце и с боковой поверхности стержня происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, температура которой 0. Определить температуру стержня в момент времени t.
9. Решите задачу
,
ГУ: 
НУ: .
10. Найти решение уравнения
,
ГУ: 
НУ: 
.
11. Дан тонкий однородный стержень длиной , начальная температура которого . На конце температура поддерживается = 0, а на конце температура изменяется по закону 
. Найти распределение температуры вдоль стержня.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
Основные порталы (построено редакторами)