Построение решения задачи методом разложения по собственным функциям (стр. 5 )

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. .

4. С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши.

1. (УЧП) ;

(НУ) .

2. (УЧП) ;

(НУ) .

3. (УЧП) ;

(НУ) .

4. (УЧП) ;

(НУ)

5. Дан однородный стержень, у которого один конец простирается до бесконечности в положительном направлении оси , а другой конец поддерживается при постоянной температуре, равной нулю. Начальное распределение температуры стержня задано. Определить температуру стержня в любой момент времени .

6. Найти решение уравнения ,

удовлетворяющее начальному условию , и краевому условию .

7. Решить краевую задачу

ГУ: ,

НУ: .

8. С помощью преобразования Лапласа по переменной t решить задачу

(УЧП): ,

(ГУ): ,

(НУ): .

Лабораторная работа №7

УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

Цель: построить решение задачи Коши для волнового уравнения; показать, что решение смешанной задачи для поперечных колебаний струны можно найти стандартным методом разделения переменных.

Решение уравнения колебания струны методом характеристик

Струной называется тонкая нить, которая может свободно изгибаться. Пусть струна находится под действием сильного натяжения. Если мы выведем струну из положения равновесия и подвергнем действию какой–нибудь силы, то струна начнет колебаться.

Ограничимся рассмотрениями малых, поперечных и плоских колебаний струны, т. е. таких колебаний, при которых отклонения точек струны от положения покоя малы. Все точки струны в любой момент времени находятся в одной и той же плоскости, и каждая точка струны колеблется, оставаясь на одном и том же перпендикуляре к прямой, соответствующей состоянию покоя струны. Принимая эту прямую за ось , обозначим через отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени t.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Функция удовлетворяет ДУ

, где

, - масса единицы длины, Т – натяжение;

, - сила, действующая на струну.

Если внешняя сила отсутствует, т. е , то мы имеем уравнение свободных колебаний струны .

Для полного определения движения струны нужно задать в начальный момент форму и скорость струны.

Пусть , . Эти условия называются начальными условиями задачи.

Приведя уравнение к канонической форме, получим уравнение , где .

Общее решение последнего уравнения запишется .

Распорядившись функциями и так чтобы функция удовлетворила НУ, приходим к решению исходного ДУ в виде

Решение уравнений колебания струны методом Фурье.

Решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям , и граничным условиям может быть представлено как сумма бесконечного ряда

, где

, .

Задания

Струна, закрепленная на концах

, имеет в начальный момент форму параболы

. Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют. Пусть начальные отклонения струны, закрепленной в точках

, равны 0, а начальная скорость выражается формулой

Определить форму струны для любого момента времени t.

Струна закреплена на концах

. В начальный момент форма струны имеет вид ломаной ОАВ:

. Найти форму струны для любого момента времени t, если начальные скорости точек струны отсутствуют. Струна, закрепленная на концах

, в начальный момент имеет форму

. Найти форму струны для любого момента времени t, если начальные скорости отсутствуют. Струна закреплена в точках

. Начальные отклонения точек струны равны 0, а начальная скорость выражается формулой

Найти форму струны.

Струна закреплена на концах

. В начальный момент форма струны имеет вид ломаной:

в начальный момент имеет форму

. Найти форму струны для любого момента времени, если начальные скорости отсутствуют. Найти решение задачи о колебаниях струны длины l при начальных условиях вида