Построение решения задачи методом разложения по собственным функциям (стр. 1 )

Лабораторная работа № 5

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ

Цель: показать, каким образом смешанную задачу можно свести к задаче с нулевыми граничными условиями.

Преобразование зависящих от времени ГУ в нулевые

Рассмотрим типичную задачу

,, ,

Для того чтобы преобразовать эти ГУ в нулевые, необходимо искать решение в следующей форме:

где функции и выбираются так, чтобы удовлетворяла ГУ исходной задачи. В этом случае функция будет удовлетворять однородным ГУ.

Подстановка функции в ГУ

приводит к двум уравнениям, из которых можно определить и . В результате получаем

, .

Следовательно:

Если подставить это выражение в исходную задачу, получим новую задачу для неизвестной функции :

, неоднородное УЧП

ГУ: (однородные ГУ)

НУ: (новое НУ с известной функцией).

Для ГУ вида изложенный метод приводит к следующей форме решения задачи:

Преобразование задачи с теплообменом через боковую поверхность к задаче с теплоизолированной боковой поверхностью

Рассмотрим следующую задачу

, , , (1)

НУ:

где описывает поток тепла через боковую поверхность.

Цель: вместо введем новую температуру , чтобы уравнение для стало проще исходного уравнения .

Пусть , (2)

т. е. температура стержня с неизолированной боковой поверхностью = температура стержня с изолированной боковой поверхностью.

Подставим (2) в (1):

;

Т. е. получаем задачу (3)

(3)

Решение задачи (3) известно

Следовательно, решение исходной задачи

Пример

Решить задачу теплопроводности

(ГУ)

(НУ) .

Преобразованием приведем задачу к виду:

(ГУ) ,

(НУ) .

Решение задачи для запишем в виде .

Из НУ следует

, , , ,

т. е. , а

Построение решения методом разложения по собственным функциям

Рассмотрим неоднородную задачу

, , ,

НУ:

Процесс решения задачи представим в виде последовательности следующих шагов.

Шаг 1. Основная идея метода состоит в разложении плотности источника в ряд по собственным функциям:

и определения откликов системы на воздействие каждой компоненты . Если все отклики будут найдены, то решение задачи будет иметь вид: .

Основная трудность в этом методе - разложение плотности источника на компоненты . Оказывается, это множители в данной задаче являются собственными векторами системы Штурма-Лиувилля, которая возникает при решении методом разделения переменных соответствующей однородной задачи, а именно: