u(x, 0) = f3(x), (0 x 1), u(x, 1) = f4(x), (0 x 1).
Решать задачу с помощью функции relax.
Для решения задачи построить сетку из 11 узлов по x (i = 0, 1, ... 10) и из 11 узлов по y (j = 0, 1, ... 10). Отобразить графически с помощью команды Graphics Þ Create Contour Plot стационарное распределение температуры в пластине.
Варианты задания 3
№ вар. | f1(y) | f2(y) | f3(x) | f4(x) |
1 | y2 | cosy + (2 - cos1) y | x3 | 1 + x |
2 | e y - e y2 | y | 1 - x3 | x2 |
3 | 1 - y2 | y | sin x + 1 - x3(1 + sin1) | x |
4 | 0 | y | sin x- x3 sin1 | x |
5 | e y+y2(1 - e)-1 | y | 0 | x |
6 | y2 | cosy + (3 - cos1)y | x3 | 1 + 2x |
7 | 0 | y | sin x- x3 sin1 | x2 |
8 | 2ey- (1+2e) y2 | - y | 1 - x3 | x - 2 |
9 | -10y2 -8y+ 6 | - 10y2 - 30y + 22 | 9x2 + 7x + 6 | 9x2 - 15x - 12 |
10 | - 7y2 - 5y +3 | - 7y2 - 21y + 13 | 6x2 + 4x + 3 | 6x2 - 12x - 9 |
11 | 1 | y + 1 | 1 | 1 + x |
12 | 1 | e y | 1 | e x |
13 | - y2 - 5y | 4 + 5y - y2 | x2 + 3x | x2 + 3x + 4 |
14 | 3 - 7y | 7 - 6y | 4x + 3 | 5x - 4 |
15 | 0 | sin y | 0 | sin x |
Лабораторная работа 10
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ
Одним из фундаментальных положений математики, нашедшим широкое применение во многих прикладных задачах (процессы передачи информации, в теории электротехники, в исследовании движения машин, в теории корабля и др.), является возможность описания любой периодической функции f(t) с периодом Т, удовлетворяющей условиям Дирихле (согласно теореме Дирихле периодическая функция должна иметь конечное число разрывов и непрерывность производных между ними.), с помощью тригонометрического ряда Фурье:
| (1) |
,где w1 = 2p/T - частота повторения (или частота первой гармоники); k - номер гармоники. Этот ряд содержит бесконечное число косинусных или синусных составляющих - гармоник, причем амплитуды этих составляющих ak и bk являются коэффициентами Фурье, определяемыми интегральными выражениями:
| (2) (3) |
Помимо упомянутой формы ряд Фурье можно представить в виде
| (4) |
,где амплитуда Аk и фаза jk гармоник определяются выражениями:
| (5) (6) |
Гармонический анализ и синтез
Гармоническим анализом называют разложение функции f(t), заданной на отрезке [0, Т] в ряд Фурье или в вычислении коэффициентов Фурье ak и bk по формулам (2) и (3).
Гармоническим синтезом называют получение колебаний сложной формы путем суммирования их гармонических составляющих (гармоник).
Рис. Гармонический синтез
Классический спектральный анализ
Спектром временной зависимости (функции) f(t) называется совокупность ее гармонических составляющих, образующих ряд Фурье. Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью Аk (спектр амплитуд) и jk (спектр фаз) от частоты wk = kw1.
Спектральный анализ периодических функций заключается в нахождении амплитуды Аk и фазы jk гармоник (косинусоид) ряда Фурье (4). Задача, обратная спектральному анализу, называется спектральным синтезом.
Рис. Классический спектральный анализ и синтез
Слово “классический” тут означает, что коэффициенты Фурье вычисляются прямым интегрированием тем методом, который используется в Mathcad.
Численный спектральный анализ
Численный спектральный анализ заключается в нахождении коэффициентов a0, a1, ..., ak, b1, b2, ..., bk (или A1, A2, ..., Ak, j1, j2, ..., jk) для периодической функции y = f(t), заданной на отрезке [0, Т] дискретными отсчетами. Он сводится к вычислению коэффициентов Фурье по формулам численного интегрирования для метода прямоугольников.
| (7) (8) |
где D t = T / N - шаг, с которым расположены абсциссы
=f(t).
Спектральный анализ на основе быстрого преобразования Фурье
Встроенные в Mathcad средства быстрого преобразования Фурье (БПФ) существенно упрощают процедуру приближенного спектрального анализа. БПФ - быстрый алгоритм переноса сведений о функции, заданной 2m (m - целое число) отсчетами во временной области, в частотную область. Если речь идет о функции f(t), заданной действительными отсчетами, следует использовать функцию fft.
fft(v) | Возвращает прямое БПФ 2m-мерного вещественнозначного вектора v, где v - вектор, элементы которого хранят отсчеты функции f(t). |
Результатом будет вектор А размерности 1 + 2m - 1 с комплексными элементами - отсчетами в частотной области. Фактически действительная и мнимая части вектора есть коэффициенты Фурье ak и bk, что существенно упрощает их получение.
Функция ifft реализует обратное БПФ:
ifft(v) | Возвращает обратное БПФ для вектора v с комплексными элементами. Вектор v имеет 1 + 2m - 1 элементов. |
Результатом будет вектор А размерности 2m с действительными элементами.
На Рисунке показано применение БПФ для спектрального анализа и синтеза импульса.
Рис. Спектральный анализ с использованием БПФ
Фильтрация аналоговых сигналов
Под фильтрацией подразумевается выделение полезного сигнала из его смеси с мешающим сигналом - шумом. Наиболее распространенный тип фильтрации - частотная фильтрация. Если известна область частот, занимаемых полезным сигналом, достаточно выделить эту область и подавить те области, которые заняты шумом.
Рисунок 19 иллюстрирует технику фильтрации с применением БПФ. Сначала синтезируется исходный сигнал, представленный 128 отсчетами вектора v. Затем к этому сигналу присоединяется шум с помощью генератора случайных чисел (функция rnd) и формируется вектор из 128 отсчетов зашумленного сигнала.
Рис. Фильтрация аналоговых сигналов
Используя прямое БПФ, сигнал с шумом преобразуется из временной области с частотную, что создает вектор f из 64 частотных составляющих. Затем выполняется фильтрующее преобразование, эффективность которого оценивается параметром a. Фильтрующее преобразование удобно выполнять с помощью функции Хевисайда
Ф(х) | Ступенчатая функция Хевисайда. Возвращает 1, если х |
0; иначе 0.Отфильтрованный сигнал (вектор g) подвергается обратному БПФ и создает вектор выходного сигнала h.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
Основные порталы (построено редакторами)