10. Изображение свертки функций
Если 
и 
- непрерывные оригиналы, имеющие изображение 
и 
, то свертка функций 
имеет изображение 
.
11. Интегрирование оригинала
Если 
- оригинал, имеющий изображение 
,то 
.
Изображение некоторых элементарных функций
|
|
|
|
1 |
|
|
|
t |
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразование частных производных
Пусть 
- функция многих переменных, и нам необходимо найти результаты применения преобразования Лапласа к различным частным производным 
. Поскольку преобразование Лапласа проводится по переменной t (t – переменная интегрирования), правила преобразования имеют вид
,
,
,
.
Пример
Рассмотрим глубокий резервуар с жидкостью, и пусть боковая поверхность резервуара теплоизолирована. 
- начальная температура жидкости. Температура воздуха над жидкостью равна нулю. Найти температурное поле в жидкости на различных глубинах и в различные моменты времени.
Математическая постановка задачи:
(УЧП) 
,
(ГУ) 
,
(НУ) 
.
Для решения этой задачи применим преобразование Лапласа по переменной t. После применения преобразования приходим к обыкновенному дифференцированному уравнению по переменной х: (ОДУ)
Для решения задачи (*) выпишем общее решение (общее решение однородного + частное решение неоднородного ОДУ):
.
Подстановка этого выражения в ГУ (*) позволяет определить константы 
и 
(сразу же ясно, что 
, иначе температура будет неограниченно расти с ростом координаты х). Определив константу из ГУ в точке 
, получим окончательное выражение для 
:
.
Для определения температуры необходимо вычислить 
. В результате получаем
,
где 
- функция, дополнительная к интегралу вероятности.
Задания
1.Найти изображения функций:
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
; 5. 
; 6. 
; 7. 
; 8. 
; 9. 
; 10. 
.
2.Найти оригинал по изображению:
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
;
5. 
; 6. 
.
3. Решить уравнения
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
10. 
;
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
Основные порталы (построено редакторами)