Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 2 )

Различные события отличаются друг от друга по степени появления и характеру взаимоотношений.

Два или несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания обеспечиваются равные возможности осуществления этих событий.

Два случайных события называются противоположными, если в результате проведения опыта одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое. Событие, противоположное событию А, обозначают .

Два события называются равносильными (эквивалентными),если они состоят из одних и тех же элементарных событий. Эквивалентность событий обозначается знаком равенства: А = В.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте.

Два события называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление другого. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если любые два из них несовместны. Множество несовместных событий называется полной системой (группой) событий, если в результате испытания обязательно произойдет одно и только одно из них.

В теории вероятностей над событиями производят различные операции.

Суммой (объединением) двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий А и В обозначается А + В или АВ. Аналогично определяется и обозначается сумма n событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Произведением (пересечением) двух событий называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий А и В обозначается АВ или АВ. Аналогично определяется и обозначается произведение n событий.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Задачи, связанные с подсчетом количества комбинаций, составленных по определенным правилам из элементов заданного множества, называют комбинаторными задачами.

Все комбинаторные задачи решаются с помощью двух правил: правила суммы и правила произведения.

Правило суммы: если некоторый объект А можно выбрать из множества объектов m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m + n способами.

Правило произведения: если объект А можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пару объектов (А, В) в указанном порядке можно выбрать mn способами.

К комбинаторным задачам относятся задачи на подсчет числа перестановок, размещений и сочетаний.

Перестановками из n элементов множества называются различные комбинации, в которые входят все n элементов, но отличающиеся друг от друга только порядком элементов.

Число всевозможных перестановок из n элементов определяется формулой:

(1)

Если среди n элементов есть элементов одного вида, элементов другого вида и т. д., то в этом случае говорят о перестановках с повторениями. Число перестановок с повторениями определяется формулой:

, (2)

где

Размещениями из n элементов множества по k элементов называются всевозможные комбинации, содержащие k различных элементов, и отличающиеся друг от друга или видом входящих в них элементов, или их порядком.

Число всевозможных размещений из n элементов по k определяется формулой:

(3)

Если в комбинации могут входить элементы одного вида, то говорят о размещениях с повторениями.

Число размещений с повторениями определяется формулой:

(4)

Сочетаниями из n элементов множества по k элементов называются всевозможные комбинации, содержащие k различных элементов, и отличающиеся хотя бы одним элементом.

Число всевозможных сочетаний из n элементов по k определяется формулой:

(5)

Если среди n элементов имеются одинаковые, то говорят о сочетаниях с повторениями из n элементов по k.

Число всевозможных сочетаний с повторениями определяется формулой:

(6)

Вероятностью события А называется отношение числа m исходов, благоприятствующих данному событию, к числу n всех равновозможных несовместных исходов. Обозначается Р(А).

(7)

Это определение вероятности называется классическим.

Вероятность события имеет следующие свойства:

1) 0 ≤ Р(А) ≤ 1;

2) Р(U) = 1;

3) Р(V) = 0.

Относительной частотой события А, или частотой, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначается W(А).

, (8)

где m – число опытов, в которых появилось событие А;

n – число всех произведенных опытов.

Относительная частота обладает свойством статистической устойчивости: в различных сериях многочисленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.

Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно. Поэтому вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

На плоскости задана квадрируемая область G, т. е. область, имеющая площадь . В области G содержится область g площадью . В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Пусть А – попадание брошенной точки в область g, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой:

(9)

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mes g, а меру области G – через mes G (mes – первые три буквы французского слова mesure, что значит мера); обозначим буквой А событие «попадание брошенной точки в область g, которая содержится в области G». Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G, определяется формулой:

(10)

Тема 1.2 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных событий и теорема сложения вероятностей совместных событий, следствия из них. Противоположные события, их вероятности

Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения для независимых событий

Литература: [1]; [2]; [3]; [4]; [5]; [6]; [7]; [8]; [9]; [10]; [11]; [12]; [13]; [14]; [15]

Вопросы для самоконтроля

1 Теоремы сложения вероятностей совместных и несовместных событий

2 Вероятности противоположных событий и событий, образующих полную систему

3 Независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий

4 Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Методические рекомендации

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

(11)

Если события образуют полную систему событий, то сумма их вероятностей равна 1. Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1, поэтому

(12)

В общем случае вероятность суммы двух событий А и В вычисляется как

(13)

События А и В называются независимыми, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет, и наоборот. Для независимых событий А и В вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

(14)

На практике нередко вероятность события А зависит от того, произошло событие В или нет. В этом случае говорят об условной вероятности, т. е. вероятности события А при условии, что событие В произошло. Обозначают условную вероятность Р(А/В). Если события А и В являются зависимыми, то вероятность произведения этих событий

или (15)