Задача 1.2 В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли пять человек. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут:
а) на одном и том же этаже;
б) на шестом этаже;
в) на разных этажах.
Решение – а) Пусть событие А заключается в том, что все пассажиры выйдут на одном и том же этаже. По определению вероятности Р(А) = m/n.
Число m всех благоприятствующих данному событию исходов равно 8, так как все пассажиры могут выйти на любом из этажей со второго по девятый. Поскольку каждый из 5 пассажиров может выйти на любом из восьми этажей (этажи могут быть разными или одинаковыми), то число n всех равновозможных несовместных исходов равно 
.
Тогда 
. 
б) Пусть событие В заключается в том, что все пассажиры выйдут на шестом этаже, тогда m = 1, а 
.
в) Пусть событие С заключается в том, что все пассажиры выйдут на разных этажах, тогда 
Следовательно, 
2 Задачи на вычисление вероятностей
Задача 2.1 В урне находятся 5 красных и 7 синих шаров. Найдите вероятность того, что два наугад вытянутых из урны шара окажутся:
а) красными;
б) разных цветов.
Решение – Пусть событие А состоит в том, что первый вытянутый из урны шар будет красным, а событие В состоит в том, что второй вытянутый из урны шар будет красным.
Так как в урне всего 12 шаров, в том числе 5 красных, то вероятность события А равна Р(А) = 5/12.
Теперь в урне осталось 11 шаров, в том числе 4 красных, тогда вероятность того, что и второй вытянутый шар будет красным равна Р(В) = 4/11.
Так как события А и В независимые, то искомая вероятность определится как Р(АВ) = Р(А) Р(В) = 5/12 × 4/11 = 5/33.
Найдем вероятность того, что первый вытянутый шар будет красным (событие А), а второй – синим (событие В):
Р(АВ) = 5/12 × 7/11 = 35/132.
Теперь найдем вероятность того, что первый вытянутый шар будет синим (событие С), а второй – красным (событие Д):
Р(СД) = 7/12 × 5/11 = 35/132.
Тогда искомая вероятность равна:
Р(АВ + СД) = Р(АВ) + Р(СД) = 35/132 + 35/132 = 35/66.
Задача 2.2 Стрелок при единичном выстреле поражает цель с вероятностью 0,8. Найдите вероятность того, что, сделав три выстрела, стрелок:
а) не попадет в цель ни разу;
б) попадет в цель ровно один раз;
в) попадет в цель хотя бы один раз.
Решение – а) Вероятность непопадания в цель стрелком составляет 1 – 0,8 = 0,2. Событие, состоящее в том, что стрелок из трех выстрелов ни разу не попал в цель, можно рассматривать как произведение трех событий, которые заключаются в том, что стрелок не попал в цель при единичном выстреле. Тогда Р = 0,2×0,2×0,2 = 0,008.
б) Найдем вероятность того, что стрелок первый раз попал в цель, а второй и третий – нет: Р(А) = 0,8×0,2×0,2 = 0,032.
Аналогично найдем вероятность попадания стрелком в цель только при втором выстреле (событие В) и только при третьем выстреле (событие С):
Р(В) = 0,2×0,8×0,2 = 0,032, Р(С) = 0,2×0,2×0,8 = 0,032.
Вероятность попадания стрелком в цель только один раз определится как сумма найденных вероятностей:
Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = 0,032 + 0,032 + 0,032 = 0,096.
в) Событие “попадет в цель хотя бы один раз” можно рассматривать как сумму событий “попадет в цель один раз” (событие А), “попадет в цель два раза” (событие В) и “попадет в цель три раза” (событие С). Вероятность первого из этих событий вычислена в пункте “б” и составляет Р(А) = 0,096. По аналогии найдем вероятности двух других событий:
Р(В) = 0,8×0,2×0,2 + 0,2×0,8×0,2 + 0,2×0,2×0,8 = 0,128 + 0,128 + +0,128 = 0,384;
Р(С) = 0,8×0,8×0,8 = 0,512.
Заметим, что данный результат можно было получить и другим способом. Для события “попадет в цель хотя бы один раз” противоположным является событие “не попадет в цель ни разу”, вероятность которого найдена в пункте “a”. Учитывая, что сумма вероятностей противоположных событий равна 1, имеем: P = 1- 0,008 = 0,992.
Задача 2.3 При сборке изделия на конвейере используются детали, изготавливаемые тремя поставщиками. Вероятность появления бракованной детали в партии, поступившей от первого поставщика, составляет 0,005, от второго поставщика – 0,008, от третьего поставщика – 0,003. От первого поставщика поступила партия в 5000 деталей, от второго – 4000, от третьего – 1000 деталей.
а) Найдите вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь окажется бракованной.
б) Найдите вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь изготовлена вторым поставщиком при условии, что она оказалась бракованной.
Решение – а) Введем следующие обозначения для рассматриваемых в задаче событий: событие A – наугад взятая деталь оказалась бракованной; событие H1 – наугад взятая деталь изготовлена первым поставщиком; событие H2 – наугад взятая деталь изготовлена вторым поставщиком; событие H3 – наугад взятая деталь изготовлена третьим поставщиком. Из условия задачи несложно найти вероятности событий H1, H2 и H3:
P(H1) = 5000/(5000 + 4000 +1000) = 0,5;
Р(Н2) = 4000/(5000 + 4000 +1000) = 0,4;
Р(Н3) = 1000/(5000 + 4000 + 1000) = 0,1.
Рассмотрим теперь событие А/Н, состоящее в том, что наугад взятая с конвейера деталь – бракованная, при условии, что данная деталь оказалась изготовленной первым поставщиком. Согласно условию задачи, вероятность этого события составляет 0,005, т. е. P(A/ H1) = 0,005. Аналогично P(A/H2) = 0,008, P(A/H3) = 0,003.
Для вычисления вероятности события A можно воспользоваться формулой полной вероятности:
P(A) = P(A/H1)P(H1)+P(A/H2)P(H2)+P(A/H3)P(H3) = 0,005×0,5 + +0,008×0,4 + 0,003×0,1 = 0,006;
б) По условию задачи требуется найти вероятность p(H2/A). Воспользуемся для этого формулой Бейеса:
P(H2/A) = P(A/H2)P(H2) / Р(А) = 0,008×0,4 / 0,006 = 0,0032/0,006 = =8/15.
Задача 2.4 Всхожесть семян данного растения равна 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут:
а) три;
б) не менее трех.
Решение – Искомые вероятности найдем с помощью формулы Бернулли
В первом случае n = 4, m = 3, p = 0,9, q = 1 – p = 0,1. Поэтому 
.
Во втором случае событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей имеем: 
. Поскольку 
, то
Р(А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.
3 Задачи на вычисление числовых характеристик и
нахождение законов распределения дискретных случайных
величин
Задача 3.1 Устройство состоит из трех независимо работающих
элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти функцию распределения и числовые характеристики этой случайной величины
Решение – Дискретная случайная величина Х – число отказавших элементов в одном опыте имеет следующие возможные значения: 
(ни один элемент не отказал), 
(отказал один элемент), 
(отказали два элемента), 
(отказали три элемента).
Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказов равны, поэтому для вычисления вероятностей возможных значений данной случайной величины Х можно применить формулу Бернулли 
. В нашем случае n = 3, p = 0,1, q = 1 – p = 0,9.
Вероятность того, что случайная величина Х примет значение 0, равна:
;
;
;
.
Проверка: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1. Так как сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины Х равна 1, то вычисления выполнены верно.
Закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте можно задать следующей таблицей:
Х | 0 | 1 | 2 | 3 |
Р | 0,729 | 0,243 | 0,027 | 0,001 |
Указание: способ вычисления вероятностей 
зависит от условия задачи.
Найдем функцию распределения F(х) данной случайной величины, используя формулу:
При х ≤ 0 F(x) = 0;
при 0 < x ≤ 1 F(x) = 0,729;
при 1 < x ≤ 2 F(x) = 0,729 + 0,243 = 0,972;
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
Основные порталы (построено редакторами)