Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 3 )

Вероятность произведения n событий вычисляется по формуле:

(16)

В частности, для трех событий А, В и С формула принимает вид:

(17)

Тема 1.3 Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Понятие гипотезы. Априорные вероятности гипотез. Теорема полной вероятности. Апостериорные вероятности гипотез и их расчет с помощью формул Байеса

Литература: [1]; [2]; [3]; [4]; [5]; [6]; [7]; [8]; [9]; [10]; [11]; [12]; [13]; [14]; [15]

Вопросы для самоконтроля

1 Сущность понятия гипотезы. Априорные и апостериорные вероятности гипотез

2 Формула полной вероятности

3 Формулы Байеса

Методические рекомендации

Пусть событие А может произойти только с одним из событий , ,…, , которые образуют полную группу попарно несовместных событий. События , ,…, называют гипотезами. Причем известны вероятности гипотез (i = 1, 2, …, n) и условные вероятности . Вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

(18)

Если произведен опыт, в результате которого произошло событие А, тогда доопытные (или априорные) вероятности гипотез должны быть заменены на новые, послеопытные (или апостериорные) вероятности , которые вычисляются по формулам Байеса:

, (19)

где вычисляется по формуле (18).

Тема 1.4 Повторение испытаний

Независимые испытания

Формула Бернулли. Теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Формула Пуассона. Условия их применения

Литература: [2]; [4]; [5]; [6]; [7]; [8]; [9]; [12]; [13]; [14]

Вопросы для самоконтроля

1 Независимые испытания относительно события А. Формула Бернулли

2 Формула Пуассона, условия ее применения

3 Теорема Муавра-Лапласа, условия ее применения

4 Интегральная теорема Лапласа, условия ее применения

Методические рекомендации

Испытания называют независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из проводимых испытаний не зависит от результатов предыдущих испытаний. Пусть вероятность появления события А в каждом единичном испытании равна р, а вероятность того, что это событие не произойдет, равна 1 – р = q. Тогда вероятность появления события А ровно m раз при проведении n испытаний определяется по формуле Бернулли:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, (20)

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность р достаточно мала (р < 0,1; npq < 10), то вероятность появления события А при многократном повторении испытаний можно приближенно вычислить по формуле Пуассона:

(21)

Теорема Муавра-Лапласа. Если число испытаний n достаточно велико, а вероятности p и q не очень близки к нулю (n > 100, npq > 20), то вероятность можно приближенно найти по локальной формуле Муавра-Лапласа:

(22)

где – функция Гаусса.

Таблица значений функции Гаусса приводится в приложениях.

Интегральная теорема Лапласа. В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность того, что число успехов m заключено между и , можно приближенно найти по интегральной формуле Лапласа:

(23)

где , , – функция Лапласа.

Таблица значений функции Лапласа приводится в приложениях.

Раздел 2 Случайные величины

Тема 2.1 Дискретные случайные величины

Случайные величины, их виды. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (ДСВ). Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения ДСВ. Числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Свойства числовых характеристик дискретных случайных величин

Литература: [2]; [3]; [4]; [5]; [6]; [7]; [8]; [9]; [10]; [11]; [12]; [13]; [14]; [15]

Вопросы для самоконтроля

1 Случайная величина и закон ее распределения

2 Функция распределения случайной величины и ее свойства

3 Дискретная случайная величина

4 Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, их свойства

Методические рекомендации

Случайной величиной называют величину, которая в результате

испытания может принимать с определенной вероятностью разные значения.

Законом распределения случайной величины называется любое соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями .

Пусть Х – некоторая случайная величина. Тогда функцию, ставящую в соответствие любому значению вероятность того, что значение случайной величины Х меньше x:

(24)

называют функцией распределения случайной величины Х. Функция распределения обладает следующими свойствами:

1) 0 ≤ F(x) ≤ 1 для всех ;

2) F(х) – неубывающая функция;

4) .

Случайную величину называют дискретной, если множество ее значений конечное либо счетное. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблицей, называемой рядом распределения:

Х			…
Р			…

Важнейшими характеристиками случайной величины являются ее математическое ожидание М(Х), дисперсия D(X) и среднее квадратическое отклонение . Для дискретной случайной величины ее числовые характеристики вычисляются по следующим формулам:

(25)

, (26)

(27)

Тема 2.2 Непрерывные случайные величины

Понятие непрерывной случайной величины (НСВ).Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины, ее свойства. Функция распределения НСВ. Числовые характеристики НСВ: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, их свойства, нахождение

Литература: [2]; [3]; [4]; [5]; [6]; [7]; [8]; [9]; [10]; [11]; [12]; [13]; [14]; [15]

Вопросы для самоконтроля

1 Непрерывная случайная величина

2 Плотность распределения вероятностей НСВ, ее свойства

3 Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение НСВ, их свойства