при 2 < x ≤ 3 F(x) = 0,729 + 0,243 + 0,027 = 0,999;
при x > 3 F(x) = 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.
Таким образом, функция распределения F(х) имеет вид:
Найдем числовые характеристики данной случайной величины:
М(Х) = 0×0,729 + 1×0,243 + 2×0,027 + 3×0,001 = 0,3;
D(Х) = М(Х)² – (М(Х))² = 0×0,729 + 1×0,243 + 4×0,027 + 9×0,001 – – 0,09 = 0,27;
Так как данная случайная величина имеет биномиальное распределение, то ее числовые характеристики можно найти по формулам:
М(Х) = np = 3 × 0,1 = 0,3;
D(X) = npq = 3 × 0,1 × 0,9 = 0,27; 
Задача 3.2 Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа произведенных выстрелов, считая, что:
а) стрелять можно неограниченное число раз;
б) в наличии есть всего 5 патронов.
Решение – а) Случайная величина Х имеет геометрическое распределение, ее ряд распределения имеет вид
Х | 1 | 2 | 3 | … |
Р | р | qp | q²p | … |
Числовые характеристики этого распределения: 
, 
. Так как р = 0,2 и q = 0,8, то 
; 
.
б) Ряд распределения случайной величины Х имеет вид
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P | p | qp | q²p | q³p |
|
Поэтому
4 Задачи на вычисление числовых характеристик и
нахождение вероятностей попадания непрерывных
случайных величин в заданный интервал
Задача 4.1 Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
Найти числовые характеристики этой случайной величины и вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение:
а) не меньшее 0,5;
б) заключенное в интервале (-0,5; 0,5).
Решение – Сначала найдем плотность вероятностей данной непрерывной случайной величины, используя формулу f(x) = F′(x). Получим:
Теперь вычислим математическое ожидание и дисперсию:
;
Для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Р(а < X < b) = F(b) – F(a) и определением функции распределения случайной величины Х: F(x) = P(X<x). Получим:
а) Р(Х ≥ 0,5) = 1 – Р(Х < 0,5) = 1 – F(0,5) = 1 – 0,5³ = 1 – 0,125 = 0,875;
б) Р(-0,5 < X < 0,5) = F(0,5) – F(-0,5) = 0,5³ - 0 = 0,125.
Указание: если функция распределения и плотность вероятностей равны разным функциям на нескольких промежутках, то математическое ожидание и дисперсию следует вычислять как сумму соответствующих интегралов.
5 Задачи по математической статистике
Задача 5.1 Дана выборка, содержащая 50 числовых значений изучаемого признака. Требуется:
а) построить дискретную или интервальную таблицу статистического распределения выборки;
б) построить полигон или гистограмму частот в зависимости от вида таблицы статистического распределения;
в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
г) найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.
11 15 23 44 58 | 18 32 35 36 48 | 45 52 44 53 44 | 15 22 78 59 65 | 16 75 32 44 52 | 75 26 33 46 46 | 76 60 32 33 35 | 50 62 65 64 50 | 21 23 44 46 37 | 50 30 40 45 50 |
Решение – а) Так как признак имеет очень много различных значений (31 значение), то целесообразно построить интервальную, а не дискретную таблицу статистического распределения выборки.
Найдем размах варьирования выборки R = 78 – 11 = 67. Разобьем возможные значения признака на 10 интервалов с шагом h = 67 : 10 = 6,7. Для каждого интервала определим его середину 
(полусумму концов) и количество 
попадающих в него вариант. Результаты запишем в следующую таблицу:
Интервал | [11; 17,7) | [17,7; 24,4) | [24,4; 31,1) | [31,1; 37,8) | [37,8;44,5) |
| 14,35 | 21,05 | 27,75 | 34,45 | 41,15 |
| 4 | 5 | 2 | 9 | 7 |
[44,5;51,2) | [51,2;57,9) | [57,9; 64,6) | [64,6; 71,3) | [71,3; 78] |
47,85 | 54,55 | 61,25 | 67,95 | 74,65 |
9 | 3 | 5 | 2 | 4 |
б) Для построения гистограммы частот необходимо для каждого интервала найти соответствующее значение ni/h. Результаты запишем в таблицу:
Интервал | [11; 17,7) | [17,7; 24,4) | [24,4; 31,1) | [31,1; 37,8) | [37,8;44,5) |
ni/h | 0,6 | 0,75 | 0,3 | 1,34 | 1,04 |
[44,5;51,2) | [51,2;57,9) | [57,9; 64,6) | [64,6; 71,3) | [71,3; 78] |
1,34 | 0,45 | 0,75 | 0,3 | 0,6 |
По данным таблицы построим гистограмму частот (рисунок 1).
Рисунок 1
в) В соответствии с определением эмпирической функции распределения имеем:
Построим график полученной эмпирической функции распределения F*(х) (рисунок 2)
г) Найдем выборочную среднюю и выборочную дисперсию:
Рисунок 2
Указание: В зависимости от количества различных значений признака, содержащихся в выборке, можно построить дискретную таблицу статистического распределения выборки и соответственно полигон частот.
Задания на домашнюю контрольную работу по учебной
дисциплине «Теория вероятностей и математическая
статистика»
1 Решите задачи с помощью формул комбинаторики
1.1 На десяти карточках написаны цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Две из них вынимают наугад и укладывают в порядке появления, затем читают полученное число. Найти вероятность того, что:
а) число будет нечетным;
б) число будет кратным пяти;
в) число будет иметь цифру 3.
1.2 Четыре человека произвольно размещаются в 7 вагонах электрички. Какова вероятность того, что все они:
а) зайдут в один вагон;
б) зайдут в вагон №1;
в) разместятся в разных вагонах?
1.3 10 книг на белорусском языке, 4 книги на французском языке и 5 книг на немецком языке размещают на одной полке. Найти вероятность того, что книги на одном языке будут стоять одна за другой.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
Основные порталы (построено редакторами)